微积分学示例

$| \frac{1 - 2 x}{x} | = 3 x$

解题步骤 1

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$\frac{1 - 2 x}{x} = \pm 3 x$

解题步骤 2

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 2.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$\frac{1 - 2 x}{x} = 3 x$

解题步骤 2.2

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 2.2.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$x, 1$

解题步骤 2.2.2

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$x$

解题步骤 2.3

将 $\frac{1 - 2 x}{x} = 3 x$ 中的每一项乘以 $x$ 以消去分数。

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解题步骤 2.3.1

将 $\frac{1 - 2 x}{x} = 3 x$ 中的每一项乘以 $x$ 。

$\frac{1 - 2 x}{x} x = 3 x \cdot x$

解题步骤 2.3.2

化简左边。

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解题步骤 2.3.2.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{1 - 2 x}{x} x = 3 x \cdot x$

解题步骤 2.3.2.1.2

重写表达式。

$1 - 2 x = 3 x \cdot x$

解题步骤 2.3.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.3.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.3.3.1.1

移动 $x$ 。

$1 - 2 x = 3 (x \cdot x)$

解题步骤 2.3.3.1.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$1 - 2 x = 3 x^{2}$

解题步骤 2.4

求解方程。

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解题步骤 2.4.1

从等式两边同时减去 $3 x^{2}$ 。

$1 - 2 x - 3 x^{2} = 0$

解题步骤 2.4.2

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 2.4.2.1

从 $1 - 2 x - 3 x^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

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解题步骤 2.4.2.1.1

将表达式重新排序。

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解题步骤 2.4.2.1.1.1

移动 $1$ 。

$- 2 x - 3 x^{2} + 1 = 0$

解题步骤 2.4.2.1.1.2

将 $- 2 x$ 和 $- 3 x^{2}$ 重新排序。

$- 3 x^{2} - 2 x + 1 = 0$

解题步骤 2.4.2.1.2

从 $- 3 x^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- (3 x^{2}) - 2 x + 1 = 0$

解题步骤 2.4.2.1.3

从 $- 2 x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- (3 x^{2}) - (2 x) + 1 = 0$

解题步骤 2.4.2.1.4

将 $1$ 重写为 $- 1 (- 1)$ 。

$- (3 x^{2}) - (2 x) - 1 \cdot - 1 = 0$

解题步骤 2.4.2.1.5

从 $- (3 x^{2}) - (2 x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- (3 x^{2} + 2 x) - 1 \cdot - 1 = 0$

解题步骤 2.4.2.1.6

从 $- (3 x^{2} + 2 x) - 1 (- 1)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- (3 x^{2} + 2 x - 1) = 0$

解题步骤 2.4.2.2

因数。

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解题步骤 2.4.2.2.1

分组因式分解。

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解题步骤 2.4.2.2.1.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 3 \cdot - 1 = - 3$ 并且它们的和为 $b = 2$ 。

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解题步骤 2.4.2.2.1.1.1

从 $2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$- (3 x^{2} + 2 (x) - 1) = 0$

解题步骤 2.4.2.2.1.1.2

把 $2$ 重写为 $- 1$ 加 $3$

$- (3 x^{2} + (- 1 + 3) x - 1) = 0$

解题步骤 2.4.2.2.1.1.3

运用分配律。

$- (3 x^{2} - 1 x + 3 x - 1) = 0$

解题步骤 2.4.2.2.1.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 2.4.2.2.1.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$- ((3 x^{2} - 1 x) + 3 x - 1) = 0$

解题步骤 2.4.2.2.1.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$- (x (3 x - 1) + 1 (3 x - 1)) = 0$

解题步骤 2.4.2.2.1.3

通过因式分解出最大公因数 $3 x - 1$ 来因式分解多项式。

$- ((3 x - 1) (x + 1)) = 0$

解题步骤 2.4.2.2.2

去掉多余的括号。

$- (3 x - 1) (x + 1) = 0$

解题步骤 2.4.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$3 x - 1 = 0$

$x + 1 = 0$

解题步骤 2.4.4

将 $3 x - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.4.4.1

将 $3 x - 1$ 设为等于 $0$ 。

$3 x - 1 = 0$

解题步骤 2.4.4.2

求解 $x$ 的 $3 x - 1 = 0$ 。

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解题步骤 2.4.4.2.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$3 x = 1$

解题步骤 2.4.4.2.2

将 $3 x = 1$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 2.4.4.2.2.1

将 $3 x = 1$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

解题步骤 2.4.4.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.4.4.2.2.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.4.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

解题步骤 2.4.4.2.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{1}{3}$

解题步骤 2.4.5

将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.4.5.1

将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 。

$x + 1 = 0$

解题步骤 2.4.5.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$x = - 1$

解题步骤 2.4.6

最终解为使 $- (3 x - 1) (x + 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = \frac{1}{3}, - 1$

解题步骤 2.5

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$\frac{1 - 2 x}{x} = - 3 x$

解题步骤 2.6

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 2.6.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$x, 1$

解题步骤 2.6.2

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$x$

解题步骤 2.7

将 $\frac{1 - 2 x}{x} = - 3 x$ 中的每一项乘以 $x$ 以消去分数。

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解题步骤 2.7.1

将 $\frac{1 - 2 x}{x} = - 3 x$ 中的每一项乘以 $x$ 。

$\frac{1 - 2 x}{x} x = - 3 x \cdot x$

解题步骤 2.7.2

化简左边。

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解题步骤 2.7.2.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 2.7.2.1.1

约去公因数。

$\frac{1 - 2 x}{x} x = - 3 x \cdot x$

解题步骤 2.7.2.1.2

重写表达式。

$1 - 2 x = - 3 x \cdot x$

解题步骤 2.7.3

化简右边。

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解题步骤 2.7.3.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.7.3.1.1

移动 $x$ 。

$1 - 2 x = - 3 (x \cdot x)$

解题步骤 2.7.3.1.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$1 - 2 x = - 3 x^{2}$

解题步骤 2.8

求解方程。

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解题步骤 2.8.1

在等式两边都加上 $3 x^{2}$ 。

$1 - 2 x + 3 x^{2} = 0$

解题步骤 2.8.2

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 2.8.3

将 $a = 3$ 、 $b = - 2$ 和 $c = 1$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 1)}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.8.4

化简。

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解题步骤 2.8.4.1

化简分子。

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解题步骤 2.8.4.1.1

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.8.4.1.2

乘以 $- 4 \cdot 3 \cdot 1$ 。

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解题步骤 2.8.4.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.8.4.1.2.2

将 $- 12$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.8.4.1.3

从 $4$ 中减去 $12$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 8}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.8.4.1.4

将 $- 8$ 重写为 $- 1 (8)$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 8}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.8.4.1.5

将 $\sqrt{- 1 (8)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.8.4.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.8.4.1.7

将 $8$ 重写为 $2^{2} \cdot 2$ 。

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解题步骤 2.8.4.1.7.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.8.4.1.7.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.8.4.1.8

从根式下提出各项。

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.8.4.1.9

将 $2$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.8.4.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{6}$

解题步骤 2.8.4.3

化简 $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{6}$ 。

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{2}}{3}$

解题步骤 2.8.5

最终答案为两个解的组合。

$x = \frac{1 + i \sqrt{2}}{3}, \frac{1 - i \sqrt{2}}{3}$

解题步骤 2.9

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = \frac{1}{3}, - 1, \frac{1 + i \sqrt{2}}{3}, \frac{1 - i \sqrt{2}}{3}$

微积分学 示例

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