微积分学示例

${(\sin (π x) + \cos (π y))}^{2} = 2$

解题步骤 1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (π x) + \cos (π y) = \pm \sqrt{2}$

解题步骤 2

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 2.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$\sin (π x) + \cos (π y) = \sqrt{2}$

解题步骤 2.2

从等式两边同时减去 $\cos (π y)$ 。

$\sin (π x) = \sqrt{2} - \cos (π y)$

解题步骤 2.3

将方程重写为 $\sqrt{2} - \cos (π y) = \sin (π x)$ 。

$\sqrt{2} - \cos (π y) = \sin (π x)$

解题步骤 2.4

从等式两边同时减去 $\sqrt{2}$ 。

$- \cos (π y) = \sin (π x) - \sqrt{2}$

解题步骤 2.5

将 $- \cos (π y) = \sin (π x) - \sqrt{2}$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 2.5.1

将 $- \cos (π y) = \sin (π x) - \sqrt{2}$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- \cos (π y)}{- 1} = \frac{\sin (π x)}{- 1} + \frac{- \sqrt{2}}{- 1}$

解题步骤 2.5.2

化简左边。

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解题步骤 2.5.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{\cos (π y)}{1} = \frac{\sin (π x)}{- 1} + \frac{- \sqrt{2}}{- 1}$

解题步骤 2.5.2.2

用 $\cos (π y)$ 除以 $1$ 。

$\cos (π y) = \frac{\sin (π x)}{- 1} + \frac{- \sqrt{2}}{- 1}$

解题步骤 2.5.3

化简右边。

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解题步骤 2.5.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.5.3.1.1

移动 $\frac{\sin (π x)}{- 1}$ 中分母的负号。

$\cos (π y) = - 1 \cdot \sin (π x) + \frac{- \sqrt{2}}{- 1}$

解题步骤 2.5.3.1.2

将 $- 1 \cdot \sin (π x)$ 重写为 $- \sin (π x)$ 。

$\cos (π y) = - \sin (π x) + \frac{- \sqrt{2}}{- 1}$

解题步骤 2.5.3.1.3

将两个负数相除得到一个正数。

$\cos (π y) = - \sin (π x) + \frac{\sqrt{2}}{1}$

解题步骤 2.5.3.1.4

用 $\sqrt{2}$ 除以 $1$ 。

$\cos (π y) = - \sin (π x) + \sqrt{2}$

解题步骤 2.6

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$π y = \arccos (- \sin (π x) + \sqrt{2})$

解题步骤 2.7

将方程重写为 $\arccos (- \sin (π x) + \sqrt{2}) = π y$ 。

$\arccos (- \sin (π x) + \sqrt{2}) = π y$

解题步骤 2.8

取方程两边的逆反余弦从而提取反余弦内的 $\sin (π x)$ 。

$- \sin (π x) + \sqrt{2} = \cos (π y)$

解题步骤 2.9

从等式两边同时减去 $\sqrt{2}$ 。

$- \sin (π x) = \cos (π y) - \sqrt{2}$

解题步骤 2.10

将 $- \sin (π x) = \cos (π y) - \sqrt{2}$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 2.10.1

将 $- \sin (π x) = \cos (π y) - \sqrt{2}$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- \sin (π x)}{- 1} = \frac{\cos (π y)}{- 1} + \frac{- \sqrt{2}}{- 1}$

解题步骤 2.10.2

化简左边。

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解题步骤 2.10.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{\sin (π x)}{1} = \frac{\cos (π y)}{- 1} + \frac{- \sqrt{2}}{- 1}$

解题步骤 2.10.2.2

用 $\sin (π x)$ 除以 $1$ 。

$\sin (π x) = \frac{\cos (π y)}{- 1} + \frac{- \sqrt{2}}{- 1}$

解题步骤 2.10.3

化简右边。

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解题步骤 2.10.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.10.3.1.1

移动 $\frac{\cos (π y)}{- 1}$ 中分母的负号。

$\sin (π x) = - 1 \cdot \cos (π y) + \frac{- \sqrt{2}}{- 1}$

解题步骤 2.10.3.1.2

将 $- 1 \cdot \cos (π y)$ 重写为 $- \cos (π y)$ 。

$\sin (π x) = - \cos (π y) + \frac{- \sqrt{2}}{- 1}$

解题步骤 2.10.3.1.3

将两个负数相除得到一个正数。

$\sin (π x) = - \cos (π y) + \frac{\sqrt{2}}{1}$

解题步骤 2.10.3.1.4

用 $\sqrt{2}$ 除以 $1$ 。

$\sin (π x) = - \cos (π y) + \sqrt{2}$

解题步骤 2.11

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$π x = \arcsin (- \cos (π y) + \sqrt{2})$

解题步骤 2.12

将 $π x = \arcsin (- \cos (π y) + \sqrt{2})$ 中的每一项除以 $π$ 并化简。

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解题步骤 2.12.1

将 $π x = \arcsin (- \cos (π y) + \sqrt{2})$ 中的每一项都除以 $π$ 。

$\frac{π x}{π} = \frac{\arcsin (- \cos (π y) + \sqrt{2})}{π}$

解题步骤 2.12.2

化简左边。

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解题步骤 2.12.2.1

约去 $π$ 的公因数。

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解题步骤 2.12.2.1.1

约去公因数。

$\frac{π x}{π} = \frac{\arcsin (- \cos (π y) + \sqrt{2})}{π}$

解题步骤 2.12.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{\arcsin (- \cos (π y) + \sqrt{2})}{π}$

解题步骤 2.13

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$\sin (π x) + \cos (π y) = - \sqrt{2}$

解题步骤 2.14

从等式两边同时减去 $\cos (π y)$ 。

$\sin (π x) = - \sqrt{2} - \cos (π y)$

解题步骤 2.15

将方程重写为 $- \sqrt{2} - \cos (π y) = \sin (π x)$ 。

$- \sqrt{2} - \cos (π y) = \sin (π x)$

解题步骤 2.16

在等式两边都加上 $\sqrt{2}$ 。

$- \cos (π y) = \sin (π x) + \sqrt{2}$

解题步骤 2.17

将 $- \cos (π y) = \sin (π x) + \sqrt{2}$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 2.17.1

将 $- \cos (π y) = \sin (π x) + \sqrt{2}$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- \cos (π y)}{- 1} = \frac{\sin (π x)}{- 1} + \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

解题步骤 2.17.2

化简左边。

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解题步骤 2.17.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{\cos (π y)}{1} = \frac{\sin (π x)}{- 1} + \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

解题步骤 2.17.2.2

用 $\cos (π y)$ 除以 $1$ 。

$\cos (π y) = \frac{\sin (π x)}{- 1} + \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

解题步骤 2.17.3

化简右边。

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解题步骤 2.17.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.17.3.1.1

移动 $\frac{\sin (π x)}{- 1}$ 中分母的负号。

$\cos (π y) = - 1 \cdot \sin (π x) + \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

解题步骤 2.17.3.1.2

将 $- 1 \cdot \sin (π x)$ 重写为 $- \sin (π x)$ 。

$\cos (π y) = - \sin (π x) + \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

解题步骤 2.17.3.1.3

移动 $\frac{\sqrt{2}}{- 1}$ 中分母的负号。

$\cos (π y) = - \sin (π x) - 1 \cdot \sqrt{2}$

解题步骤 2.17.3.1.4

将 $- 1 \cdot \sqrt{2}$ 重写为 $- \sqrt{2}$ 。

$\cos (π y) = - \sin (π x) - \sqrt{2}$

解题步骤 2.18

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$π y = \arccos (- \sin (π x) - \sqrt{2})$

解题步骤 2.19

将方程重写为 $\arccos (- \sin (π x) - \sqrt{2}) = π y$ 。

$\arccos (- \sin (π x) - \sqrt{2}) = π y$

解题步骤 2.20

取方程两边的逆反余弦从而提取反余弦内的 $\sin (π x)$ 。

$- \sin (π x) - \sqrt{2} = \cos (π y)$

解题步骤 2.21

在等式两边都加上 $\sqrt{2}$ 。

$- \sin (π x) = \cos (π y) + \sqrt{2}$

解题步骤 2.22

将 $- \sin (π x) = \cos (π y) + \sqrt{2}$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 2.22.1

将 $- \sin (π x) = \cos (π y) + \sqrt{2}$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- \sin (π x)}{- 1} = \frac{\cos (π y)}{- 1} + \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

解题步骤 2.22.2

化简左边。

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解题步骤 2.22.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{\sin (π x)}{1} = \frac{\cos (π y)}{- 1} + \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

解题步骤 2.22.2.2

用 $\sin (π x)$ 除以 $1$ 。

$\sin (π x) = \frac{\cos (π y)}{- 1} + \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

解题步骤 2.22.3

化简右边。

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解题步骤 2.22.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.22.3.1.1

移动 $\frac{\cos (π y)}{- 1}$ 中分母的负号。

$\sin (π x) = - 1 \cdot \cos (π y) + \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

解题步骤 2.22.3.1.2

将 $- 1 \cdot \cos (π y)$ 重写为 $- \cos (π y)$ 。

$\sin (π x) = - \cos (π y) + \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

解题步骤 2.22.3.1.3

移动 $\frac{\sqrt{2}}{- 1}$ 中分母的负号。

$\sin (π x) = - \cos (π y) - 1 \cdot \sqrt{2}$

解题步骤 2.22.3.1.4

将 $- 1 \cdot \sqrt{2}$ 重写为 $- \sqrt{2}$ 。

$\sin (π x) = - \cos (π y) - \sqrt{2}$

解题步骤 2.23

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$π x = \arcsin (- \cos (π y) - \sqrt{2})$

解题步骤 2.24

将 $π x = \arcsin (- \cos (π y) - \sqrt{2})$ 中的每一项除以 $π$ 并化简。

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解题步骤 2.24.1

将 $π x = \arcsin (- \cos (π y) - \sqrt{2})$ 中的每一项都除以 $π$ 。

$\frac{π x}{π} = \frac{\arcsin (- \cos (π y) - \sqrt{2})}{π}$

解题步骤 2.24.2

化简左边。

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解题步骤 2.24.2.1

约去 $π$ 的公因数。

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解题步骤 2.24.2.1.1

约去公因数。

$\frac{π x}{π} = \frac{\arcsin (- \cos (π y) - \sqrt{2})}{π}$

解题步骤 2.24.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{\arcsin (- \cos (π y) - \sqrt{2})}{π}$

解题步骤 2.25

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = \frac{\arcsin (- \cos (π y) + \sqrt{2})}{π}$

$x = \frac{\arcsin (- \cos (π y) - \sqrt{2})}{π}$

$x = \frac{\arcsin (- \cos (π y) + \sqrt{2})}{π}$

$x = \frac{\arcsin (- \cos (π y) - \sqrt{2})}{π}$

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