微积分学示例

$10^{2 x} - 2 \cdot 10^{x} - 15 = 0$

解题步骤 1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 1.1

将 $10^{2 x}$ 重写为 ${(10^{x})}^{2}$ 。

${(10^{x})}^{2} - 2 \cdot 10^{x} - 15 = 0$

解题步骤 1.2

使 $u = 10^{x}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $10^{x}$ 。

$u^{2} - 2 u - 15 = 0$

解题步骤 1.3

使用 AC 法来对 $u^{2} - 2 u - 15$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.3.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 15$ ，和为 $- 2$ 。

$- 5, 3$

解题步骤 1.3.2

使用这些整数书写分数形式。

$(u - 5) (u + 3) = 0$

$(u - 5) (u + 3) = 0$

解题步骤 1.4

使用 $10^{x}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$(10^{x} - 5) (10^{x} + 3) = 0$

$(10^{x} - 5) (10^{x} + 3) = 0$

解题步骤 2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$10^{x} - 5 = 0$

$10^{x} + 3 = 0$

解题步骤 3

将 $10^{x} - 5$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.1

将 $10^{x} - 5$ 设为等于 $0$ 。

$10^{x} - 5 = 0$

解题步骤 3.2

求解 $x$ 的 $10^{x} - 5 = 0$ 。

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解题步骤 3.2.1

在等式两边都加上 $5$ 。

$10^{x} = 5$

解题步骤 3.2.2

方程两边同时取以 $10$ 为底的对数来去掉指数中的变量。

$\log (10^{x}) = \log (5)$

解题步骤 3.2.3

展开左边。

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解题步骤 3.2.3.1

通过将 $x$ 移到对数外来展开 $\log (10^{x})$ 。

$x \log (10) = \log (5)$

解题步骤 3.2.3.2

$10$ 的对数底 $10$ 的值为 $1$ 。

$x \cdot 1 = \log (5)$

解题步骤 3.2.3.3

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$x = \log (5)$

$x = \log (5)$

$x = \log (5)$

$x = \log (5)$

解题步骤 4

将 $10^{x} + 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.1

将 $10^{x} + 3$ 设为等于 $0$ 。

$10^{x} + 3 = 0$

解题步骤 4.2

求解 $x$ 的 $10^{x} + 3 = 0$ 。

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解题步骤 4.2.1

从等式两边同时减去 $3$ 。

$10^{x} = - 3$

解题步骤 4.2.2

方程两边同时取以 $10$ 为底的对数来去掉指数中的变量。

$\log (10^{x}) = \log (- 3)$

解题步骤 4.2.3

因为 $\log (- 3)$ 无意义，所以方程无解。

无定义

解题步骤 4.2.4

$10^{x} = - 3$ 无解

无解

无解

无解

解题步骤 5

最终解为使 $(10^{x} - 5) (10^{x} + 3) = 0$ 成立的所有值。

$x = \log (5)$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$x = \log (5)$

小数形式：

$x = 0.69897000 \dots$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$