微积分学示例

$25^{x} - 2 \cdot 5^{x} = 3$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $3$ 。

$25^{x} - 2 \cdot 5^{x} - 3 = 0$

解题步骤 2

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 2.1

将 $25^{x}$ 重写为 ${(5^{2})}^{x}$ 。

${(5^{2})}^{x} - 2 \cdot 5^{x} - 3 = 0$

解题步骤 2.2

将 ${(5^{2})}^{x}$ 重写为 ${(5^{x})}^{2}$ 。

${(5^{x})}^{2} - 2 \cdot 5^{x} - 3 = 0$

解题步骤 2.3

使 $u = 5^{x}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $5^{x}$ 。

$u^{2} - 2 u - 3 = 0$

解题步骤 2.4

使用 AC 法来对 $u^{2} - 2 u - 3$ 进行因式分解。

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解题步骤 2.4.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 3$ ，和为 $- 2$ 。

$- 3, 1$

解题步骤 2.4.2

使用这些整数书写分数形式。

$(u - 3) (u + 1) = 0$

解题步骤 2.5

使用 $5^{x}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$(5^{x} - 3) (5^{x} + 1) = 0$

解题步骤 3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$5^{x} - 3 = 0$

$5^{x} + 1 = 0$

解题步骤 4

将 $5^{x} - 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.1

将 $5^{x} - 3$ 设为等于 $0$ 。

$5^{x} - 3 = 0$

解题步骤 4.2

求解 $x$ 的 $5^{x} - 3 = 0$ 。

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解题步骤 4.2.1

在等式两边都加上 $3$ 。

$5^{x} = 3$

解题步骤 4.2.2

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (5^{x}) = \ln (3)$

解题步骤 4.2.3

通过将 $x$ 移到对数外来展开 $\ln (5^{x})$ 。

$x \ln (5) = \ln (3)$

解题步骤 4.2.4

将 $x \ln (5) = \ln (3)$ 中的每一项除以 $\ln (5)$ 并化简。

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解题步骤 4.2.4.1

将 $x \ln (5) = \ln (3)$ 中的每一项都除以 $\ln (5)$ 。

$\frac{x \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{\ln (3)}{\ln (5)}$

解题步骤 4.2.4.2

化简左边。

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解题步骤 4.2.4.2.1

约去 $\ln (5)$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{\ln (3)}{\ln (5)}$

解题步骤 4.2.4.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{\ln (3)}{\ln (5)}$

解题步骤 5

将 $5^{x} + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.1

将 $5^{x} + 1$ 设为等于 $0$ 。

$5^{x} + 1 = 0$

解题步骤 5.2

求解 $x$ 的 $5^{x} + 1 = 0$ 。

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解题步骤 5.2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$5^{x} = - 1$

解题步骤 5.2.2

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (5^{x}) = \ln (- 1)$

解题步骤 5.2.3

因为 $\ln (- 1)$ 无意义，所以方程无解。

无定义

解题步骤 5.2.4

$5^{x} = - 1$ 无解

无解

解题步骤 6

最终解为使 $(5^{x} - 3) (5^{x} + 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = \frac{\ln (3)}{\ln (5)}$

解题步骤 7

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$x = \frac{\ln (3)}{\ln (5)}$

小数形式：

$x = 0.68260619 \dots$

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