微积分学示例

$3^{2 x} - 3^{x + 2} + 8 = 0$

解题步骤 1

将 $3^{x + 2}$ 重写为 $3^{x} \cdot 3^{2}$ 。

$3^{2 x} - (3^{x} \cdot 3^{2}) + 8 = 0$

解题步骤 2

将 $3^{2 x}$ 重写为乘方形式。

${(3^{x})}^{2} - (3^{x} \cdot 3^{2}) + 8 = 0$

解题步骤 3

去掉圆括号。

${(3^{x})}^{2} - 3^{x} \cdot 3^{2} + 8 = 0$

解题步骤 4

代入 $u$ 替换 $3^{x}$ 。

$u^{2} - u \cdot 3^{2} + 8 = 0$

解题步骤 5

化简每一项。

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解题步骤 5.1

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$u^{2} - u \cdot 9 + 8 = 0$

解题步骤 5.2

将 $9$ 乘以 $- 1$ 。

$u^{2} - 9 u + 8 = 0$

解题步骤 6

求解 $u$ 。

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解题步骤 6.1

使用 AC 法来对 $u^{2} - 9 u + 8$ 进行因式分解。

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解题步骤 6.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $8$ ，和为 $- 9$ 。

$- 8, - 1$

解题步骤 6.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$(u - 8) (u - 1) = 0$

解题步骤 6.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$u - 8 = 0$

$u - 1 = 0$

解题步骤 6.3

将 $u - 8$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

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解题步骤 6.3.1

将 $u - 8$ 设为等于 $0$ 。

$u - 8 = 0$

解题步骤 6.3.2

在等式两边都加上 $8$ 。

$u = 8$

解题步骤 6.4

将 $u - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

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解题步骤 6.4.1

将 $u - 1$ 设为等于 $0$ 。

$u - 1 = 0$

解题步骤 6.4.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$u = 1$

解题步骤 6.5

最终解为使 $(u - 8) (u - 1) = 0$ 成立的所有值。

$u = 8, 1$

解题步骤 7

代入 $8$ 替换 $u = 3^{x}$ 中的 $u$ 。

$8 = 3^{x}$

解题步骤 8

求解 $8 = 3^{x}$ 。

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解题步骤 8.1

将方程重写为 $3^{x} = 8$ 。

$3^{x} = 8$

解题步骤 8.2

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (3^{x}) = \ln (8)$

解题步骤 8.3

通过将 $x$ 移到对数外来展开 $\ln (3^{x})$ 。

$x \ln (3) = \ln (8)$

解题步骤 8.4

将 $x \ln (3) = \ln (8)$ 中的每一项除以 $\ln (3)$ 并化简。

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解题步骤 8.4.1

将 $x \ln (3) = \ln (8)$ 中的每一项都除以 $\ln (3)$ 。

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (8)}{\ln (3)}$

解题步骤 8.4.2

化简左边。

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解题步骤 8.4.2.1

约去 $\ln (3)$ 的公因数。

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解题步骤 8.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (8)}{\ln (3)}$

解题步骤 8.4.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{\ln (8)}{\ln (3)}$

解题步骤 9

代入 $1$ 替换 $u = 3^{x}$ 中的 $u$ 。

$1 = 3^{x}$

解题步骤 10

求解 $1 = 3^{x}$ 。

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解题步骤 10.1

将方程重写为 $3^{x} = 1$ 。

$3^{x} = 1$

解题步骤 10.2

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (3^{x}) = \ln (1)$

解题步骤 10.3

通过将 $x$ 移到对数外来展开 $\ln (3^{x})$ 。

$x \ln (3) = \ln (1)$

解题步骤 10.4

化简右边。

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解题步骤 10.4.1

$1$ 的自然对数为 $0$ 。

$x \ln (3) = 0$

解题步骤 10.5

将 $x \ln (3) = 0$ 中的每一项除以 $\ln (3)$ 并化简。

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解题步骤 10.5.1

将 $x \ln (3) = 0$ 中的每一项都除以 $\ln (3)$ 。

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{0}{\ln (3)}$

解题步骤 10.5.2

化简左边。

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解题步骤 10.5.2.1

约去 $\ln (3)$ 的公因数。

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解题步骤 10.5.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{0}{\ln (3)}$

解题步骤 10.5.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{0}{\ln (3)}$

解题步骤 10.5.3

化简右边。

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解题步骤 10.5.3.1

用 $0$ 除以 $\ln (3)$ 。

$x = 0$

解题步骤 11

列出使方程成立的解。

$x = \frac{\ln (8)}{\ln (3)}, 0$

解题步骤 12

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$x = \frac{\ln (8)}{\ln (3)}, 0$

小数形式：

$x = 1.89278926 \dots, 0$

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