微积分学示例

$x^{2} - x = \log_{5} (25)$

解题步骤 1

$25$ 的对数底 $5$ 的值为 $2$ 。

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解题步骤 1.1

重写为方程。

$x^{2} - x = \log_{5} (25) = x$

解题步骤 1.2

利用对数的定义将 $\log_{5} (25) = x$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 都是正实数且 $b$ 不等于 $1$ ，那么 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$x^{2} - x = 5^{x} = 25$

解题步骤 1.3

在方程中创建底数相同的对等表达式。

$x^{2} - x = 5^{x} = 5^{2}$

解题步骤 1.4

因为底相同，所以两个表达式仅当指数也相等时才会相等。

$x^{2} - x = x = 2$

解题步骤 1.5

变量 $x$ 等于 $2$ 。

$x^{2} - x = 2$

解题步骤 2

从等式两边同时减去 $2$ 。

$x^{2} - x - 2 = 0$

解题步骤 3

使用 AC 法来对 $x^{2} - x - 2$ 进行因式分解。

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解题步骤 3.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 2$ ，和为 $- 1$ 。

$- 2, 1$

解题步骤 3.2

使用这些整数书写分数形式。

$(x - 2) (x + 1) = 0$

解题步骤 4

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x - 2 = 0$

$x + 1 = 0$

解题步骤 5

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.1

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 。

$x - 2 = 0$

解题步骤 5.2

在等式两边都加上 $2$ 。

$x = 2$

解题步骤 6

将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 6.1

将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 。

$x + 1 = 0$

解题步骤 6.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$x = - 1$

解题步骤 7

最终解为使 $(x - 2) (x + 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = 2, - 1$

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