微积分学示例

$\sqrt{3 x + 2} + \sqrt{x + 7} = 1$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $\sqrt{x + 7}$ 。

$\sqrt{3 x + 2} = 1 - \sqrt{x + 7}$

解题步骤 2

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${\sqrt{3 x + 2}}^{2} = {(1 - \sqrt{x + 7})}^{2}$

解题步骤 3

化简方程的两边。

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解题步骤 3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3 x + 2}$ 重写成 ${(3 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ 。

${({(3 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(1 - \sqrt{x + 7})}^{2}$

解题步骤 3.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.1

化简 ${({(3 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 3.2.1.1

将 ${({(3 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(3 x + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(1 - \sqrt{x + 7})}^{2}$

解题步骤 3.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.1.2.1

约去公因数。

${(3 x + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(1 - \sqrt{x + 7})}^{2}$

解题步骤 3.2.1.1.2.2

重写表达式。

${(3 x + 2)}^{1} = {(1 - \sqrt{x + 7})}^{2}$

解题步骤 3.2.1.2

化简。

$3 x + 2 = {(1 - \sqrt{x + 7})}^{2}$

解题步骤 3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.1

化简 ${(1 - \sqrt{x + 7})}^{2}$ 。

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解题步骤 3.3.1.1

将 ${(1 - \sqrt{x + 7})}^{2}$ 重写为 $(1 - \sqrt{x + 7}) (1 - \sqrt{x + 7})$ 。

$3 x + 2 = (1 - \sqrt{x + 7}) (1 - \sqrt{x + 7})$

解题步骤 3.3.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(1 - \sqrt{x + 7}) (1 - \sqrt{x + 7})$ 。

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解题步骤 3.3.1.2.1

运用分配律。

$3 x + 2 = 1 (1 - \sqrt{x + 7}) - \sqrt{x + 7} (1 - \sqrt{x + 7})$

解题步骤 3.3.1.2.2

运用分配律。

$3 x + 2 = 1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{x + 7}) - \sqrt{x + 7} (1 - \sqrt{x + 7})$

解题步骤 3.3.1.2.3

运用分配律。

$3 x + 2 = 1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{x + 7}) - \sqrt{x + 7} \cdot 1 - \sqrt{x + 7} (- \sqrt{x + 7})$

解题步骤 3.3.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.3.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.3.1.3.1.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$3 x + 2 = 1 + 1 (- \sqrt{x + 7}) - \sqrt{x + 7} \cdot 1 - \sqrt{x + 7} (- \sqrt{x + 7})$

解题步骤 3.3.1.3.1.2

将 $- \sqrt{x + 7}$ 乘以 $1$ 。

$3 x + 2 = 1 - \sqrt{x + 7} - \sqrt{x + 7} \cdot 1 - \sqrt{x + 7} (- \sqrt{x + 7})$

解题步骤 3.3.1.3.1.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$3 x + 2 = 1 - \sqrt{x + 7} - \sqrt{x + 7} - \sqrt{x + 7} (- \sqrt{x + 7})$

解题步骤 3.3.1.3.1.4

乘以 $- \sqrt{x + 7} (- \sqrt{x + 7})$ 。

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解题步骤 3.3.1.3.1.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$3 x + 2 = 1 - \sqrt{x + 7} - \sqrt{x + 7} + 1 \sqrt{x + 7} \sqrt{x + 7}$

解题步骤 3.3.1.3.1.4.2

将 $\sqrt{x + 7}$ 乘以 $1$ 。

$3 x + 2 = 1 - \sqrt{x + 7} - \sqrt{x + 7} + \sqrt{x + 7} \sqrt{x + 7}$

解题步骤 3.3.1.3.1.4.3

对 $\sqrt{x + 7}$ 进行 $1$ 次方运算。

$3 x + 2 = 1 - \sqrt{x + 7} - \sqrt{x + 7} + {\sqrt{x + 7}}^{1} \sqrt{x + 7}$

解题步骤 3.3.1.3.1.4.4

对 $\sqrt{x + 7}$ 进行 $1$ 次方运算。

$3 x + 2 = 1 - \sqrt{x + 7} - \sqrt{x + 7} + {\sqrt{x + 7}}^{1} {\sqrt{x + 7}}^{1}$

解题步骤 3.3.1.3.1.4.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$3 x + 2 = 1 - \sqrt{x + 7} - \sqrt{x + 7} + {\sqrt{x + 7}}^{1 + 1}$

解题步骤 3.3.1.3.1.4.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$3 x + 2 = 1 - \sqrt{x + 7} - \sqrt{x + 7} + {\sqrt{x + 7}}^{2}$

解题步骤 3.3.1.3.1.5

将 ${\sqrt{x + 7}}^{2}$ 重写为 $x + 7$ 。

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解题步骤 3.3.1.3.1.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x + 7}$ 重写成 ${(x + 7)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$3 x + 2 = 1 - \sqrt{x + 7} - \sqrt{x + 7} + {({(x + 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

解题步骤 3.3.1.3.1.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$3 x + 2 = 1 - \sqrt{x + 7} - \sqrt{x + 7} + {(x + 7)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

解题步骤 3.3.1.3.1.5.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$3 x + 2 = 1 - \sqrt{x + 7} - \sqrt{x + 7} + {(x + 7)}^{\frac{2}{2}}$

解题步骤 3.3.1.3.1.5.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1.3.1.5.4.1

约去公因数。

$3 x + 2 = 1 - \sqrt{x + 7} - \sqrt{x + 7} + {(x + 7)}^{\frac{2}{2}}$

解题步骤 3.3.1.3.1.5.4.2

重写表达式。

$3 x + 2 = 1 - \sqrt{x + 7} - \sqrt{x + 7} + {(x + 7)}^{1}$

解题步骤 3.3.1.3.1.5.5

化简。

$3 x + 2 = 1 - \sqrt{x + 7} - \sqrt{x + 7} + x + 7$

解题步骤 3.3.1.3.2

将 $1$ 和 $7$ 相加。

$3 x + 2 = 8 - \sqrt{x + 7} - \sqrt{x + 7} + x$

解题步骤 3.3.1.3.3

从 $- \sqrt{x + 7}$ 中减去 $\sqrt{x + 7}$ 。

$3 x + 2 = 8 - 2 \sqrt{x + 7} + x$

解题步骤 4

求解 $- 2 \sqrt{x + 7}$ 。

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解题步骤 4.1

将方程重写为 $8 - 2 \sqrt{x + 7} + x = 3 x + 2$ 。

$8 - 2 \sqrt{x + 7} + x = 3 x + 2$

解题步骤 4.2

将所有不包含 $- 2 \sqrt{x + 7}$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 4.2.1

从等式两边同时减去 $8$ 。

$- 2 \sqrt{x + 7} + x = 3 x + 2 - 8$

解题步骤 4.2.2

从等式两边同时减去 $x$ 。

$- 2 \sqrt{x + 7} = 3 x + 2 - 8 - x$

解题步骤 4.2.3

从 $3 x$ 中减去 $x$ 。

$- 2 \sqrt{x + 7} = 2 x + 2 - 8$

解题步骤 4.2.4

从 $2$ 中减去 $8$ 。

$- 2 \sqrt{x + 7} = 2 x - 6$

解题步骤 5

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${(- 2 \sqrt{x + 7})}^{2} = {(2 x - 6)}^{2}$

解题步骤 6

化简方程的两边。

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解题步骤 6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x + 7}$ 重写成 ${(x + 7)}^{\frac{1}{2}}$ 。

${(- 2 {(x + 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x - 6)}^{2}$

解题步骤 6.2

化简左边。

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解题步骤 6.2.1

化简 ${(- 2 {(x + 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 6.2.1.1

对 $- 2 {(x + 7)}^{\frac{1}{2}}$ 运用乘积法则。

${(- 2)}^{2} {({(x + 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x - 6)}^{2}$

解题步骤 6.2.1.2

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$4 {({(x + 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x - 6)}^{2}$

解题步骤 6.2.1.3

将 ${({(x + 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 6.2.1.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$4 {(x + 7)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x - 6)}^{2}$

解题步骤 6.2.1.3.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.1.3.2.1

约去公因数。

$4 {(x + 7)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x - 6)}^{2}$

解题步骤 6.2.1.3.2.2

重写表达式。

$4 {(x + 7)}^{1} = {(2 x - 6)}^{2}$

解题步骤 6.2.1.4

化简。

$4 (x + 7) = {(2 x - 6)}^{2}$

解题步骤 6.2.1.5

运用分配律。

$4 x + 4 \cdot 7 = {(2 x - 6)}^{2}$

解题步骤 6.2.1.6

将 $4$ 乘以 $7$ 。

$4 x + 28 = {(2 x - 6)}^{2}$

解题步骤 6.3

化简右边。

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解题步骤 6.3.1

化简 ${(2 x - 6)}^{2}$ 。

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解题步骤 6.3.1.1

将 ${(2 x - 6)}^{2}$ 重写为 $(2 x - 6) (2 x - 6)$ 。

$4 x + 28 = (2 x - 6) (2 x - 6)$

解题步骤 6.3.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(2 x - 6) (2 x - 6)$ 。

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解题步骤 6.3.1.2.1

运用分配律。

$4 x + 28 = 2 x (2 x - 6) - 6 (2 x - 6)$

解题步骤 6.3.1.2.2

运用分配律。

$4 x + 28 = 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 6 - 6 (2 x - 6)$

解题步骤 6.3.1.2.3

运用分配律。

$4 x + 28 = 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 6 - 6 (2 x) - 6 \cdot - 6$

解题步骤 6.3.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 6.3.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 6.3.1.3.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$4 x + 28 = 2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 6 - 6 (2 x) - 6 \cdot - 6$

解题步骤 6.3.1.3.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 6.3.1.3.1.2.1

移动 $x$ 。

$4 x + 28 = 2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 6 - 6 (2 x) - 6 \cdot - 6$

解题步骤 6.3.1.3.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$4 x + 28 = 2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot - 6 - 6 (2 x) - 6 \cdot - 6$

解题步骤 6.3.1.3.1.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4 x + 28 = 4 x^{2} + 2 x \cdot - 6 - 6 (2 x) - 6 \cdot - 6$

解题步骤 6.3.1.3.1.4

将 $- 6$ 乘以 $2$ 。

$4 x + 28 = 4 x^{2} - 12 x - 6 (2 x) - 6 \cdot - 6$

解题步骤 6.3.1.3.1.5

将 $2$ 乘以 $- 6$ 。

$4 x + 28 = 4 x^{2} - 12 x - 12 x - 6 \cdot - 6$

解题步骤 6.3.1.3.1.6

将 $- 6$ 乘以 $- 6$ 。

$4 x + 28 = 4 x^{2} - 12 x - 12 x + 36$

解题步骤 6.3.1.3.2

从 $- 12 x$ 中减去 $12 x$ 。

$4 x + 28 = 4 x^{2} - 24 x + 36$

解题步骤 7

求解 $x$ 。

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解题步骤 7.1

因为 $x$ 在方程的右边，所以要交换两边使其出现在方程的左边。

$4 x^{2} - 24 x + 36 = 4 x + 28$

解题步骤 7.2

将所有包含 $x$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 7.2.1

从等式两边同时减去 $4 x$ 。

$4 x^{2} - 24 x + 36 - 4 x = 28$

解题步骤 7.2.2

从 $- 24 x$ 中减去 $4 x$ 。

$4 x^{2} - 28 x + 36 = 28$

解题步骤 7.3

从等式两边同时减去 $28$ 。

$4 x^{2} - 28 x + 36 - 28 = 0$

解题步骤 7.4

从 $36$ 中减去 $28$ 。

$4 x^{2} - 28 x + 8 = 0$

解题步骤 7.5

从 $4 x^{2} - 28 x + 8$ 中分解出因数 $4$ 。

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解题步骤 7.5.1

从 $4 x^{2}$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 (x^{2}) - 28 x + 8 = 0$

解题步骤 7.5.2

从 $- 28 x$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 (x^{2}) + 4 (- 7 x) + 8 = 0$

解题步骤 7.5.3

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 x^{2} + 4 (- 7 x) + 4 \cdot 2 = 0$

解题步骤 7.5.4

从 $4 x^{2} + 4 (- 7 x)$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 (x^{2} - 7 x) + 4 \cdot 2 = 0$

解题步骤 7.5.5

从 $4 (x^{2} - 7 x) + 4 \cdot 2$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 (x^{2} - 7 x + 2) = 0$

解题步骤 7.6

将 $4 (x^{2} - 7 x + 2) = 0$ 中的每一项除以 $4$ 并化简。

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解题步骤 7.6.1

将 $4 (x^{2} - 7 x + 2) = 0$ 中的每一项都除以 $4$ 。

$\frac{4 (x^{2} - 7 x + 2)}{4} = \frac{0}{4}$

解题步骤 7.6.2

化简左边。

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解题步骤 7.6.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 7.6.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 (x^{2} - 7 x + 2)}{4} = \frac{0}{4}$

解题步骤 7.6.2.1.2

用 $x^{2} - 7 x + 2$ 除以 $1$ 。

$x^{2} - 7 x + 2 = \frac{0}{4}$

解题步骤 7.6.3

化简右边。

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解题步骤 7.6.3.1

用 $0$ 除以 $4$ 。

$x^{2} - 7 x + 2 = 0$

解题步骤 7.7

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 7.8

将 $a = 1$ 、 $b = - 7$ 和 $c = 2$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.9

化简。

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解题步骤 7.9.1

化简分子。

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解题步骤 7.9.1.1

对 $- 7$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.9.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ 。

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解题步骤 7.9.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.9.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 8}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.9.1.3

从 $49$ 中减去 $8$ 。

$x = \frac{7 \pm \sqrt{41}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.9.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{7 \pm \sqrt{41}}{2}$

解题步骤 7.10

最终答案为两个解的组合。

$x = \frac{7 + \sqrt{41}}{2}, \frac{7 - \sqrt{41}}{2}$

解题步骤 8

排除不能使 $\sqrt{3 x + 2} + \sqrt{x + 7} = 1$ 成立的解。

$无解$

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