微积分学示例

$\frac{x}{4} + 2 \sqrt{x} + 15 = x$

解题步骤 1

将所有不包含 $2 \sqrt{x}$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 1.1

从等式两边同时减去 $\frac{x}{4}$ 。

$2 \sqrt{x} + 15 = x - \frac{x}{4}$

解题步骤 1.2

从等式两边同时减去 $15$ 。

$2 \sqrt{x} = x - \frac{x}{4} - 15$

解题步骤 2

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${(2 \sqrt{x})}^{2} = {(x - \frac{x}{4} - 15)}^{2}$

解题步骤 3

化简方程的两边。

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解题步骤 3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - \frac{x}{4} - 15)}^{2}$

解题步骤 3.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.1

化简 ${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 3.2.1.1

对 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 运用乘积法则。

$2^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - \frac{x}{4} - 15)}^{2}$

解题步骤 3.2.1.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$4 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - \frac{x}{4} - 15)}^{2}$

解题步骤 3.2.1.3

将 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.2.1.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - \frac{x}{4} - 15)}^{2}$

解题步骤 3.2.1.3.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.3.2.1

约去公因数。

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - \frac{x}{4} - 15)}^{2}$

解题步骤 3.2.1.3.2.2

重写表达式。

$4 x^{1} = {(x - \frac{x}{4} - 15)}^{2}$

解题步骤 3.2.1.4

化简。

$4 x = {(x - \frac{x}{4} - 15)}^{2}$

解题步骤 3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.1

化简 ${(x - \frac{x}{4} - 15)}^{2}$ 。

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解题步骤 3.3.1.1

要将 $x$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$4 x = {(x \cdot \frac{4}{4} - \frac{x}{4} - 15)}^{2}$

解题步骤 3.3.1.2

组合 $x$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$4 x = {(\frac{x \cdot 4}{4} - \frac{x}{4} - 15)}^{2}$

解题步骤 3.3.1.3

在公分母上合并分子。

$4 x = {(\frac{x \cdot 4 - x}{4} - 15)}^{2}$

解题步骤 3.3.1.4

从 $x \cdot 4$ 中减去 $x$ 。

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解题步骤 3.3.1.4.1

将 $x$ 和 $4$ 重新排序。

$4 x = {(\frac{4 \cdot x - x}{4} - 15)}^{2}$

解题步骤 3.3.1.4.2

从 $4 \cdot x$ 中减去 $x$ 。

$4 x = {(\frac{3 \cdot x}{4} - 15)}^{2}$

解题步骤 3.3.1.5

将 ${(\frac{3 x}{4} - 15)}^{2}$ 重写为 $(\frac{3 x}{4} - 15) (\frac{3 x}{4} - 15)$ 。

$4 x = (\frac{3 x}{4} - 15) (\frac{3 x}{4} - 15)$

解题步骤 3.3.1.6

使用 FOIL 方法展开 $(\frac{3 x}{4} - 15) (\frac{3 x}{4} - 15)$ 。

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解题步骤 3.3.1.6.1

运用分配律。

$4 x = \frac{3 x}{4} (\frac{3 x}{4} - 15) - 15 (\frac{3 x}{4} - 15)$

解题步骤 3.3.1.6.2

运用分配律。

$4 x = \frac{3 x}{4} \cdot \frac{3 x}{4} + \frac{3 x}{4} \cdot - 15 - 15 (\frac{3 x}{4} - 15)$

解题步骤 3.3.1.6.3

运用分配律。

$4 x = \frac{3 x}{4} \cdot \frac{3 x}{4} + \frac{3 x}{4} \cdot - 15 - 15 \frac{3 x}{4} - 15 \cdot - 15$

解题步骤 3.3.1.7

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.3.1.7.1

化简每一项。

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解题步骤 3.3.1.7.1.1

乘以 $\frac{3 x}{4} \cdot \frac{3 x}{4}$ 。

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解题步骤 3.3.1.7.1.1.1

将 $\frac{3 x}{4}$ 乘以 $\frac{3 x}{4}$ 。

$4 x = \frac{3 x (3 x)}{4 \cdot 4} + \frac{3 x}{4} \cdot - 15 - 15 \frac{3 x}{4} - 15 \cdot - 15$

解题步骤 3.3.1.7.1.1.2

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$4 x = \frac{9 x \cdot x}{4 \cdot 4} + \frac{3 x}{4} \cdot - 15 - 15 \frac{3 x}{4} - 15 \cdot - 15$

解题步骤 3.3.1.7.1.1.3

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$4 x = \frac{9 (x^{1} x)}{4 \cdot 4} + \frac{3 x}{4} \cdot - 15 - 15 \frac{3 x}{4} - 15 \cdot - 15$

解题步骤 3.3.1.7.1.1.4

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$4 x = \frac{9 (x^{1} x^{1})}{4 \cdot 4} + \frac{3 x}{4} \cdot - 15 - 15 \frac{3 x}{4} - 15 \cdot - 15$

解题步骤 3.3.1.7.1.1.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$4 x = \frac{9 x^{1 + 1}}{4 \cdot 4} + \frac{3 x}{4} \cdot - 15 - 15 \frac{3 x}{4} - 15 \cdot - 15$

解题步骤 3.3.1.7.1.1.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$4 x = \frac{9 x^{2}}{4 \cdot 4} + \frac{3 x}{4} \cdot - 15 - 15 \frac{3 x}{4} - 15 \cdot - 15$

解题步骤 3.3.1.7.1.1.7

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$4 x = \frac{9 x^{2}}{16} + \frac{3 x}{4} \cdot - 15 - 15 \frac{3 x}{4} - 15 \cdot - 15$

解题步骤 3.3.1.7.1.2

乘以 $\frac{3 x}{4} \cdot - 15$ 。

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解题步骤 3.3.1.7.1.2.1

组合 $\frac{3 x}{4}$ 和 $- 15$ 。

$4 x = \frac{9 x^{2}}{16} + \frac{3 x \cdot - 15}{4} - 15 \frac{3 x}{4} - 15 \cdot - 15$

解题步骤 3.3.1.7.1.2.2

将 $- 15$ 乘以 $3$ 。

$4 x = \frac{9 x^{2}}{16} + \frac{- 45 x}{4} - 15 \frac{3 x}{4} - 15 \cdot - 15$

解题步骤 3.3.1.7.1.3

将负号移到分数的前面。

$4 x = \frac{9 x^{2}}{16} - \frac{45 x}{4} - 15 \frac{3 x}{4} - 15 \cdot - 15$

解题步骤 3.3.1.7.1.4

乘以 $- 15 \frac{3 x}{4}$ 。

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解题步骤 3.3.1.7.1.4.1

组合 $- 15$ 和 $\frac{3 x}{4}$ 。

$4 x = \frac{9 x^{2}}{16} - \frac{45 x}{4} + \frac{- 15 (3 x)}{4} - 15 \cdot - 15$

解题步骤 3.3.1.7.1.4.2

将 $3$ 乘以 $- 15$ 。

$4 x = \frac{9 x^{2}}{16} - \frac{45 x}{4} + \frac{- 45 x}{4} - 15 \cdot - 15$

解题步骤 3.3.1.7.1.5

将负号移到分数的前面。

$4 x = \frac{9 x^{2}}{16} - \frac{45 x}{4} - \frac{45 x}{4} - 15 \cdot - 15$

解题步骤 3.3.1.7.1.6

将 $- 15$ 乘以 $- 15$ 。

$4 x = \frac{9 x^{2}}{16} - \frac{45 x}{4} - \frac{45 x}{4} + 225$

解题步骤 3.3.1.7.2

从 $- \frac{45 x}{4}$ 中减去 $\frac{45 x}{4}$ 。

$4 x = \frac{9 x^{2}}{16} - 2 \frac{45 x}{4} + 225$

解题步骤 3.3.1.8

化简每一项。

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解题步骤 3.3.1.8.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1.8.1.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$4 x = \frac{9 x^{2}}{16} + 2 (- 1) \frac{45 x}{4} + 225$

解题步骤 3.3.1.8.1.2

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$4 x = \frac{9 x^{2}}{16} + 2 \cdot - 1 \frac{45 x}{2 \cdot 2} + 225$

解题步骤 3.3.1.8.1.3

约去公因数。

$4 x = \frac{9 x^{2}}{16} + 2 \cdot - 1 \frac{45 x}{2 \cdot 2} + 225$

解题步骤 3.3.1.8.1.4

重写表达式。

$4 x = \frac{9 x^{2}}{16} - 1 \frac{45 x}{2} + 225$

解题步骤 3.3.1.8.2

将 $- 1 \frac{45 x}{2}$ 重写为 $- \frac{45 x}{2}$ 。

$4 x = \frac{9 x^{2}}{16} - \frac{45 x}{2} + 225$

解题步骤 4

求解 $x$ 。

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解题步骤 4.1

因为 $x$ 在方程的右边，所以要交换两边使其出现在方程的左边。

$\frac{9 x^{2}}{16} - \frac{45 x}{2} + 225 = 4 x$

解题步骤 4.2

将所有包含 $x$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 4.2.1

从等式两边同时减去 $4 x$ 。

$\frac{9 x^{2}}{16} - \frac{45 x}{2} + 225 - 4 x = 0$

解题步骤 4.2.2

要将 $- 4 x$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{9 x^{2}}{16} - \frac{45 x}{2} - 4 x \cdot \frac{2}{2} + 225 = 0$

解题步骤 4.2.3

组合 $- 4 x$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{9 x^{2}}{16} - \frac{45 x}{2} + \frac{- 4 x \cdot 2}{2} + 225 = 0$

解题步骤 4.2.4

在公分母上合并分子。

$\frac{9 x^{2}}{16} + \frac{- 45 x - 4 x \cdot 2}{2} + 225 = 0$

解题步骤 4.2.5

求公分母。

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解题步骤 4.2.5.1

将 $\frac{- 45 x - 4 x \cdot 2}{2}$ 乘以 $\frac{8}{8}$ 。

$\frac{9 x^{2}}{16} + \frac{- 45 x - 4 x \cdot 2}{2} \cdot \frac{8}{8} + 225 = 0$

解题步骤 4.2.5.2

将 $\frac{- 45 x - 4 x \cdot 2}{2}$ 乘以 $\frac{8}{8}$ 。

$\frac{9 x^{2}}{16} + \frac{(- 45 x - 4 x \cdot 2) \cdot 8}{2 \cdot 8} + 225 = 0$

解题步骤 4.2.5.3

将 $225$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$\frac{9 x^{2}}{16} + \frac{(- 45 x - 4 x \cdot 2) \cdot 8}{2 \cdot 8} + \frac{225}{1} = 0$

解题步骤 4.2.5.4

将 $\frac{225}{1}$ 乘以 $\frac{16}{16}$ 。

$\frac{9 x^{2}}{16} + \frac{(- 45 x - 4 x \cdot 2) \cdot 8}{2 \cdot 8} + \frac{225}{1} \cdot \frac{16}{16} = 0$

解题步骤 4.2.5.5

将 $\frac{225}{1}$ 乘以 $\frac{16}{16}$ 。

$\frac{9 x^{2}}{16} + \frac{(- 45 x - 4 x \cdot 2) \cdot 8}{2 \cdot 8} + \frac{225 \cdot 16}{16} = 0$

解题步骤 4.2.5.6

将 $2$ 乘以 $8$ 。

$\frac{9 x^{2}}{16} + \frac{(- 45 x - 4 x \cdot 2) \cdot 8}{16} + \frac{225 \cdot 16}{16} = 0$

解题步骤 4.2.6

在公分母上合并分子。

$\frac{9 x^{2} + (- 45 x - 4 x \cdot 2) \cdot 8 + 225 \cdot 16}{16} = 0$

解题步骤 4.2.7

化简每一项。

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解题步骤 4.2.7.1

将 $2$ 乘以 $- 4$ 。

$\frac{9 x^{2} + (- 45 x - 8 x) \cdot 8 + 225 \cdot 16}{16} = 0$

解题步骤 4.2.7.2

从 $- 45 x$ 中减去 $8 x$ 。

$\frac{9 x^{2} - 53 x \cdot 8 + 225 \cdot 16}{16} = 0$

解题步骤 4.2.7.3

将 $8$ 乘以 $- 53$ 。

$\frac{9 x^{2} - 424 x + 225 \cdot 16}{16} = 0$

解题步骤 4.2.7.4

将 $225$ 乘以 $16$ 。

$\frac{9 x^{2} - 424 x + 3600}{16} = 0$

解题步骤 4.2.8

分组因式分解。

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解题步骤 4.2.8.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 9 \cdot 3600 = 32400$ 并且它们的和为 $b = - 424$ 。

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解题步骤 4.2.8.1.1

从 $- 424 x$ 中分解出因数 $- 424$ 。

$\frac{9 x^{2} - 424 (x) + 3600}{16} = 0$

解题步骤 4.2.8.1.2

把 $- 424$ 重写为 $- 100$ 加 $- 324$

$\frac{9 x^{2} + (- 100 - 324) x + 3600}{16} = 0$

解题步骤 4.2.8.1.3

运用分配律。

$\frac{9 x^{2} - 100 x - 324 x + 3600}{16} = 0$

解题步骤 4.2.8.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 4.2.8.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$\frac{(9 x^{2} - 100 x) - 324 x + 3600}{16} = 0$

解题步骤 4.2.8.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$\frac{x (9 x - 100) - 36 (9 x - 100)}{16} = 0$

解题步骤 4.2.8.3

通过因式分解出最大公因数 $9 x - 100$ 来因式分解多项式。

$\frac{(9 x - 100) (x - 36)}{16} = 0$

解题步骤 4.3

将分子设为等于零。

$(9 x - 100) (x - 36) = 0$

解题步骤 4.4

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 4.4.1

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$9 x - 100 = 0$

$x - 36 = 0$

解题步骤 4.4.2

将 $9 x - 100$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.4.2.1

将 $9 x - 100$ 设为等于 $0$ 。

$9 x - 100 = 0$

解题步骤 4.4.2.2

求解 $x$ 的 $9 x - 100 = 0$ 。

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解题步骤 4.4.2.2.1

在等式两边都加上 $100$ 。

$9 x = 100$

解题步骤 4.4.2.2.2

将 $9 x = 100$ 中的每一项除以 $9$ 并化简。

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解题步骤 4.4.2.2.2.1

将 $9 x = 100$ 中的每一项都除以 $9$ 。

$\frac{9 x}{9} = \frac{100}{9}$

解题步骤 4.4.2.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 4.4.2.2.2.2.1

约去 $9$ 的公因数。

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解题步骤 4.4.2.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{9 x}{9} = \frac{100}{9}$

解题步骤 4.4.2.2.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{100}{9}$

解题步骤 4.4.3

将 $x - 36$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.4.3.1

将 $x - 36$ 设为等于 $0$ 。

$x - 36 = 0$

解题步骤 4.4.3.2

在等式两边都加上 $36$ 。

$x = 36$

解题步骤 4.4.4

最终解为使 $(9 x - 100) (x - 36) = 0$ 成立的所有值。

$x = \frac{100}{9}, 36$

解题步骤 5

排除不能使 $\frac{x}{4} + 2 \sqrt{x} + 15 = x$ 成立的解。

$x = 36$

微积分学 示例

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