微积分学示例

$f (x) = \ln (x)$

解题步骤 1

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$f' (x) = \frac{1}{x}$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

将 $\frac{1}{x}$ 重写为 $x^{- 1}$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$- x^{- 2}$

解题步骤 2.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$f'' (x) = - \frac{1}{x^{2}}$

解题步骤 3

求三阶导数。

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解题步骤 3.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = - 1$ 且 $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ 。

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 3.2

求微分。

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解题步骤 3.2.1

将 $\frac{1}{x^{2}}$ 重写为 ${(x^{2})}^{- 1}$ 。

$- \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 3.2.2

将 ${(x^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 3.2.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{d}{d x} [x^{- 2}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 3.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 2$ 。

$- (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 3.2.4

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 3.2.5

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

解题步骤 3.2.6

化简表达式。

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解题步骤 3.2.6.1

将 $\frac{1}{x^{2}}$ 乘以 $0$ 。

$2 x^{- 3} + 0$

解题步骤 3.2.6.2

将 $2 x^{- 3}$ 和 $0$ 相加。

$2 x^{- 3}$

解题步骤 3.3

化简。

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解题步骤 3.3.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$2 \frac{1}{x^{3}}$

解题步骤 3.3.2

组合 $2$ 和 $\frac{1}{x^{3}}$ 。

$f''' (x) = \frac{2}{x^{3}}$

解题步骤 4

求四阶导数。

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解题步骤 4.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{2}{x^{3}}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

解题步骤 4.2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 4.2.1

将 $\frac{1}{x^{3}}$ 重写为 ${(x^{3})}^{- 1}$ 。

$2 \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

解题步骤 4.2.2

将 ${(x^{3})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x^{3 \cdot - 1}]$

解题步骤 4.2.2.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

解题步骤 4.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 3$ 。

$2 (- 3 x^{- 4})$

解题步骤 4.4

将 $- 3$ 乘以 $2$ 。

$- 6 x^{- 4}$

解题步骤 4.5

化简。

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解题步骤 4.5.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- 6 \frac{1}{x^{4}}$

解题步骤 4.5.2

合并项。

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解题步骤 4.5.2.1

组合 $- 6$ 和 $\frac{1}{x^{4}}$ 。

$\frac{- 6}{x^{4}}$

解题步骤 4.5.2.2

将负号移到分数的前面。

$f^{4} (x) = - \frac{6}{x^{4}}$

解题步骤 5

$f (x)$ 对于 $x$ 的四阶导数是 $- \frac{6}{x^{4}}$ 。

$- \frac{6}{x^{4}}$

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