微积分学示例

$0 = \frac{π}{2} + π \cos (\frac{π x}{2})$

解题步骤 1

将方程重写为 $\frac{π}{2} + π \cos (\frac{π x}{2}) = 0$ 。

$\frac{π}{2} + π \cos (\frac{π x}{2}) = 0$

解题步骤 2

从等式两边同时减去 $\frac{π}{2}$ 。

$π \cos (\frac{π x}{2}) = - \frac{π}{2}$

解题步骤 3

将 $π \cos (\frac{π x}{2}) = - \frac{π}{2}$ 中的每一项除以 $π$ 并化简。

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解题步骤 3.1

将 $π \cos (\frac{π x}{2}) = - \frac{π}{2}$ 中的每一项都除以 $π$ 。

$\frac{π \cos (\frac{π x}{2})}{π} = \frac{- \frac{π}{2}}{π}$

解题步骤 3.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.1

约去 $π$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{π \cos (\frac{π x}{2})}{π} = \frac{- \frac{π}{2}}{π}$

解题步骤 3.2.1.2

用 $\cos (\frac{π x}{2})$ 除以 $1$ 。

$\cos (\frac{π x}{2}) = \frac{- \frac{π}{2}}{π}$

解题步骤 3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$\cos (\frac{π x}{2}) = - \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{π}$

解题步骤 3.3.2

约去 $π$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.1

将 $- \frac{π}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$\cos (\frac{π x}{2}) = \frac{- π}{2} \cdot \frac{1}{π}$

解题步骤 3.3.2.2

从 $- π$ 中分解出因数 $π$ 。

$\cos (\frac{π x}{2}) = \frac{π \cdot - 1}{2} \cdot \frac{1}{π}$

解题步骤 3.3.2.3

约去公因数。

$\cos (\frac{π x}{2}) = \frac{π \cdot - 1}{2} \cdot \frac{1}{π}$

解题步骤 3.3.2.4

重写表达式。

$\cos (\frac{π x}{2}) = \frac{- 1}{2}$

解题步骤 3.3.3

将负号移到分数的前面。

$\cos (\frac{π x}{2}) = - \frac{1}{2}$

解题步骤 4

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$\frac{π x}{2} = \arccos (- \frac{1}{2})$

解题步骤 5

化简右边。

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解题步骤 5.1

$\arccos (- \frac{1}{2})$ 的准确值为 $\frac{2 π}{3}$ 。

$\frac{π x}{2} = \frac{2 π}{3}$

解题步骤 6

等式两边同时乘以 $\frac{2}{π}$ 。

$\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2} = \frac{2}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

解题步骤 7

化简方程的两边。

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解题步骤 7.1

化简左边。

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解题步骤 7.1.1

化简 $\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2}$ 。

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解题步骤 7.1.1.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.1.1.1.1

约去公因数。

$\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2} = \frac{2}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

解题步骤 7.1.1.1.2

重写表达式。

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{2}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

解题步骤 7.1.1.2

约去 $π$ 的公因数。

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解题步骤 7.1.1.2.1

从 $π x$ 中分解出因数 $π$ 。

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{2}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

解题步骤 7.1.1.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{2}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

解题步骤 7.1.1.2.3

重写表达式。

$x = \frac{2}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

解题步骤 7.2

化简右边。

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解题步骤 7.2.1

化简 $\frac{2}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$ 。

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解题步骤 7.2.1.1

约去 $π$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.1.1.1

从 $2 π$ 中分解出因数 $π$ 。

$x = \frac{2}{π} \cdot \frac{π \cdot 2}{3}$

解题步骤 7.2.1.1.2

约去公因数。

$x = \frac{2}{π} \cdot \frac{π \cdot 2}{3}$

解题步骤 7.2.1.1.3

重写表达式。

$x = 2 (\frac{2}{3})$

解题步骤 7.2.1.2

组合 $2$ 和 $\frac{2}{3}$ 。

$x = \frac{2 \cdot 2}{3}$

解题步骤 7.2.1.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{4}{3}$

解题步骤 8

余弦函数在第二象限和第三象限为负。要求第二个解，应从 $2 π$ 中减去参考角以求第三象限中的解。

$\frac{π x}{2} = 2 π - \frac{2 π}{3}$

解题步骤 9

求解 $x$ 。

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解题步骤 9.1

等式两边同时乘以 $\frac{2}{π}$ 。

$\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2} = \frac{2}{π} (2 π - \frac{2 π}{3})$

解题步骤 9.2

化简方程的两边。

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解题步骤 9.2.1

化简左边。

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解题步骤 9.2.1.1

化简 $\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2}$ 。

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解题步骤 9.2.1.1.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.2.1.1.1.1

约去公因数。

$\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2} = \frac{2}{π} (2 π - \frac{2 π}{3})$

解题步骤 9.2.1.1.1.2

重写表达式。

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{2}{π} (2 π - \frac{2 π}{3})$

解题步骤 9.2.1.1.2

约去 $π$ 的公因数。

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解题步骤 9.2.1.1.2.1

从 $π x$ 中分解出因数 $π$ 。

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{2}{π} (2 π - \frac{2 π}{3})$

解题步骤 9.2.1.1.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{2}{π} (2 π - \frac{2 π}{3})$

解题步骤 9.2.1.1.2.3

重写表达式。

$x = \frac{2}{π} (2 π - \frac{2 π}{3})$

解题步骤 9.2.2

化简右边。

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解题步骤 9.2.2.1

化简 $\frac{2}{π} (2 π - \frac{2 π}{3})$ 。

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解题步骤 9.2.2.1.1

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$x = \frac{2}{π} (2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3})$

解题步骤 9.2.2.1.2

合并分数。

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解题步骤 9.2.2.1.2.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$x = \frac{2}{π} (\frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3})$

解题步骤 9.2.2.1.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{2}{π} \cdot \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

解题步骤 9.2.2.1.3

化简分子。

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解题步骤 9.2.2.1.3.1

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{2}{π} \cdot \frac{6 π - 2 π}{3}$

解题步骤 9.2.2.1.3.2

从 $6 π$ 中减去 $2 π$ 。

$x = \frac{2}{π} \cdot \frac{4 π}{3}$

解题步骤 9.2.2.1.4

化简项。

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解题步骤 9.2.2.1.4.1

约去 $π$ 的公因数。

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解题步骤 9.2.2.1.4.1.1

从 $4 π$ 中分解出因数 $π$ 。

$x = \frac{2}{π} \cdot \frac{π \cdot 4}{3}$

解题步骤 9.2.2.1.4.1.2

约去公因数。

$x = \frac{2}{π} \cdot \frac{π \cdot 4}{3}$

解题步骤 9.2.2.1.4.1.3

重写表达式。

$x = 2 (\frac{4}{3})$

解题步骤 9.2.2.1.4.2

组合 $2$ 和 $\frac{4}{3}$ 。

$x = \frac{2 \cdot 4}{3}$

解题步骤 9.2.2.1.4.3

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$x = \frac{8}{3}$

解题步骤 10

求 $\cos (\frac{π x}{2})$ 的周期。

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解题步骤 10.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 10.2

使用周期公式中的 $\frac{π}{2}$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| \frac{π}{2} |}$

解题步骤 10.3

$\frac{π}{2}$ 约为 $1.57079632$ ，因其为正数，所以去掉绝对值

$\frac{2 π}{\frac{π}{2}}$

解题步骤 10.4

将分子乘以分母的倒数。

$2 π \frac{2}{π}$

解题步骤 10.5

约去 $π$ 的公因数。

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解题步骤 10.5.1

从 $2 π$ 中分解出因数 $π$ 。

$π \cdot 2 \frac{2}{π}$

解题步骤 10.5.2

约去公因数。

$π \cdot 2 \frac{2}{π}$

解题步骤 10.5.3

重写表达式。

$2 \cdot 2$

解题步骤 10.6

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4$

解题步骤 11

$\cos (\frac{π x}{2})$ 函数的周期为 $4$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $4$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{4}{3} + 4 n, \frac{8}{3} + 4 n$ ，对于任意整数 $n$

微积分学 示例

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