微积分学示例

$\frac{90}{1 + e^{- x}} = 4$

解题步骤 1

两边同时乘以 $1 + e^{- x}$ 。

$\frac{90}{1 + e^{- x}} (1 + e^{- x}) = 4 (1 + e^{- x})$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

化简左边。

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解题步骤 2.1.1

约去 $1 + e^{- x}$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.1.1

约去公因数。

$\frac{90}{1 + e^{- x}} (1 + e^{- x}) = 4 (1 + e^{- x})$

解题步骤 2.1.1.2

重写表达式。

$90 = 4 (1 + e^{- x})$

解题步骤 2.2

化简右边。

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解题步骤 2.2.1

化简 $4 (1 + e^{- x})$ 。

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解题步骤 2.2.1.1

运用分配律。

$90 = 4 \cdot 1 + 4 e^{- x}$

解题步骤 2.2.1.2

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$90 = 4 + 4 e^{- x}$

解题步骤 3

求解 $x$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $4 + 4 e^{- x} = 90$ 。

$4 + 4 e^{- x} = 90$

解题步骤 3.2

将所有不包含 $x$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 3.2.1

从等式两边同时减去 $4$ 。

$4 e^{- x} = 90 - 4$

解题步骤 3.2.2

从 $90$ 中减去 $4$ 。

$4 e^{- x} = 86$

解题步骤 3.3

将 $4 e^{- x} = 86$ 中的每一项除以 $4$ 并化简。

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解题步骤 3.3.1

将 $4 e^{- x} = 86$ 中的每一项都除以 $4$ 。

$\frac{4 e^{- x}}{4} = \frac{86}{4}$

解题步骤 3.3.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 e^{- x}}{4} = \frac{86}{4}$

解题步骤 3.3.2.1.2

用 $e^{- x}$ 除以 $1$ 。

$e^{- x} = \frac{86}{4}$

解题步骤 3.3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.3.1

约去 $86$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.3.1.1

从 $86$ 中分解出因数 $2$ 。

$e^{- x} = \frac{2 (43)}{4}$

解题步骤 3.3.3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 3.3.3.1.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$e^{- x} = \frac{2 \cdot 43}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.3.3.1.2.2

约去公因数。

$e^{- x} = \frac{2 \cdot 43}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.3.3.1.2.3

重写表达式。

$e^{- x} = \frac{43}{2}$

解题步骤 3.4

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{- x}) = \ln (\frac{43}{2})$

解题步骤 3.5

展开左边。

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解题步骤 3.5.1

通过将 $- x$ 移到对数外来展开 $\ln (e^{- x})$ 。

$- x \ln (e) = \ln (\frac{43}{2})$

解题步骤 3.5.2

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$- x \cdot 1 = \ln (\frac{43}{2})$

解题步骤 3.5.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- x = \ln (\frac{43}{2})$

解题步骤 3.6

将 $- x = \ln (\frac{43}{2})$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 3.6.1

将 $- x = \ln (\frac{43}{2})$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- x}{- 1} = \frac{\ln (\frac{43}{2})}{- 1}$

解题步骤 3.6.2

化简左边。

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解题步骤 3.6.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x}{1} = \frac{\ln (\frac{43}{2})}{- 1}$

解题步骤 3.6.2.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{\ln (\frac{43}{2})}{- 1}$

解题步骤 3.6.3

化简右边。

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解题步骤 3.6.3.1

移动 $\frac{\ln (\frac{43}{2})}{- 1}$ 中分母的负号。

$x = - 1 \cdot \ln (\frac{43}{2})$

解题步骤 3.6.3.2

将 $- 1 \cdot \ln (\frac{43}{2})$ 重写为 $- \ln (\frac{43}{2})$ 。

$x = - \ln (\frac{43}{2})$

解题步骤 4

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$x = - \ln (\frac{43}{2})$

小数形式：

$x = - 3.06805293 \dots$

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