微积分学示例

$f (x) = \sqrt{4 - x}$ , $a = 0$

解题步骤 1

思考一下可用于求在 $a$ 处线性化的函数。

$L (x) = f (a) + f' (a) (x - a)$

解题步骤 2

将 $a = 0$ 的值代入线性函数中。

$L (x) = f (0) + f' (0) (x - 0)$

解题步骤 3

计算 $f (0)$ 。

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解题步骤 3.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f (0) = \sqrt{4 - (0)}$

解题步骤 3.2

化简 $\sqrt{4 - (0)}$ 。

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解题步骤 3.2.1

去掉圆括号。

$\sqrt{4 - (0)}$

解题步骤 3.2.2

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\sqrt{4 + 0}$

解题步骤 3.2.3

将 $4$ 和 $0$ 相加。

$\sqrt{4}$

解题步骤 3.2.4

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\sqrt{2^{2}}$

解题步骤 3.2.5

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$2$

解题步骤 4

求导数，并计算其在 $0$ 处的值。

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解题步骤 4.1

求 $f (x) = \sqrt{4 - x}$ 的导数。

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解题步骤 4.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{4 - x}$ 重写成 ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [{(4 - x)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 4.1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = 4 - x$ 。

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解题步骤 4.1.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $4 - x$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [4 - x]$

解题步骤 4.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 - x]$

解题步骤 4.1.2.3

使用 $4 - x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 - x]$

解题步骤 4.1.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x]$

解题步骤 4.1.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x]$

解题步骤 4.1.5

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x]$

解题步骤 4.1.6

化简分子。

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解题步骤 4.1.6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x]$

解题步骤 4.1.6.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x]$

解题步骤 4.1.7

合并分数。

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解题步骤 4.1.7.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{2} {(4 - x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x]$

解题步骤 4.1.7.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{{(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [4 - x]$

解题步骤 4.1.7.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 - x]$

解题步骤 4.1.8

根据加法法则， $4 - x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]$ 。

$\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x])$

解题步骤 4.1.9

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

解题步骤 4.1.10

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- x]$ 相加。

$\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 4.1.11

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.1.12

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} (- 1 \cdot 1)$

解题步骤 4.1.13

合并分数。

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解题步骤 4.1.13.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 1$

解题步骤 4.1.13.2

组合 $\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $- 1$ 。

$\frac{- 1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.1.13.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.2

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$- \frac{1}{2 {(4 - (0))}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.3

化简。

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解题步骤 4.3.1

化简分母。

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解题步骤 4.3.1.1

从 $4$ 中减去 $0$ 。

$- \frac{1}{2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.3.1.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$- \frac{1}{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.3.1.3

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{1}{2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}}$

解题步骤 4.3.1.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.1.4.1

约去公因数。

$- \frac{1}{2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}}$

解题步骤 4.3.1.4.2

重写表达式。

$- \frac{1}{2 \cdot 2^{1}}$

解题步骤 4.3.1.5

计算指数。

$- \frac{1}{2 \cdot 2}$

解题步骤 4.3.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{1}{4}$

解题步骤 5

将分量代入线性方程中以求在 $a$ 处的线性化。

$L (x) = 2 - \frac{1}{4} (x - 0)$

解题步骤 6

化简每一项。

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解题步骤 6.1

从 $x$ 中减去 $0$ 。

$L (x) = 2 - \frac{1}{4} x$

解题步骤 6.2

组合 $x$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$L (x) = 2 - \frac{x}{4}$

解题步骤 7

微积分学 示例

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