微积分学示例

$\frac{1}{1 + a e^{- k t}} = \frac{1}{2}$

解题步骤 1

两边同时乘以 $1 + a e^{- k t}$ 。

$\frac{1}{1 + a e^{- k t}} (1 + a e^{- k t}) = \frac{1}{2} (1 + a e^{- k t})$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

化简左边。

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解题步骤 2.1.1

约去 $1 + a e^{- k t}$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.1.1

约去公因数。

$\frac{1}{1 + a e^{- k t}} (1 + a e^{- k t}) = \frac{1}{2} (1 + a e^{- k t})$

解题步骤 2.1.1.2

重写表达式。

$1 = \frac{1}{2} (1 + a e^{- k t})$

解题步骤 2.2

化简右边。

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解题步骤 2.2.1

化简 $\frac{1}{2} (1 + a e^{- k t})$ 。

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解题步骤 2.2.1.1

运用分配律。

$1 = \frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} (a e^{- k t})$

解题步骤 2.2.1.2

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $1$ 。

$1 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} (a e^{- k t})$

解题步骤 2.2.1.3

乘以 $\frac{1}{2} (a e^{- k t})$ 。

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解题步骤 2.2.1.3.1

组合 $a$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$1 = \frac{1}{2} + \frac{a}{2} e^{- k t}$

解题步骤 2.2.1.3.2

组合 $\frac{a}{2}$ 和 $e^{- k t}$ 。

$1 = \frac{1}{2} + \frac{a e^{- k t}}{2}$

解题步骤 2.2.1.4

将 $\frac{1}{2}$ 和 $\frac{a e^{- k t}}{2}$ 重新排序。

$1 = \frac{a e^{- k t}}{2} + \frac{1}{2}$

解题步骤 3

求解 $t$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $\frac{a e^{- k t}}{2} + \frac{1}{2} = 1$ 。

$\frac{a e^{- k t}}{2} + \frac{1}{2} = 1$

解题步骤 3.2

将所有不包含 $t$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 3.2.1

从等式两边同时减去 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{a e^{- k t}}{2} = 1 - \frac{1}{2}$

解题步骤 3.2.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{a e^{- k t}}{2} = \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

解题步骤 3.2.3

在公分母上合并分子。

$\frac{a e^{- k t}}{2} = \frac{2 - 1}{2}$

解题步骤 3.2.4

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$\frac{a e^{- k t}}{2} = \frac{1}{2}$

解题步骤 3.3

因为方程两边的表达式具有相同的分母，所以分子必须相等。

$a e^{- k t} = 1$

解题步骤 3.4

将 $a e^{- k t} = 1$ 中的每一项除以 $a$ 并化简。

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解题步骤 3.4.1

将 $a e^{- k t} = 1$ 中的每一项都除以 $a$ 。

$\frac{a e^{- k t}}{a} = \frac{1}{a}$

解题步骤 3.4.2

化简左边。

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解题步骤 3.4.2.1

约去 $a$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{a e^{- k t}}{a} = \frac{1}{a}$

解题步骤 3.4.2.1.2

用 $e^{- k t}$ 除以 $1$ 。

$e^{- k t} = \frac{1}{a}$

解题步骤 3.5

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{- k t}) = \ln (\frac{1}{a})$

解题步骤 3.6

展开左边。

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解题步骤 3.6.1

通过将 $- k t$ 移到对数外来展开 $\ln (e^{- k t})$ 。

$- k t \ln (e) = \ln (\frac{1}{a})$

解题步骤 3.6.2

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$- k t \cdot 1 = \ln (\frac{1}{a})$

解题步骤 3.6.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- k t = \ln (\frac{1}{a})$

解题步骤 3.7

将 $- k t = \ln (\frac{1}{a})$ 中的每一项除以 $- k$ 并化简。

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解题步骤 3.7.1

将 $- k t = \ln (\frac{1}{a})$ 中的每一项都除以 $- k$ 。

$\frac{- k t}{- k} = \frac{\ln (\frac{1}{a})}{- k}$

解题步骤 3.7.2

化简左边。

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解题步骤 3.7.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{k t}{k} = \frac{\ln (\frac{1}{a})}{- k}$

解题步骤 3.7.2.2

约去 $k$ 的公因数。

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解题步骤 3.7.2.2.1

约去公因数。

$\frac{k t}{k} = \frac{\ln (\frac{1}{a})}{- k}$

解题步骤 3.7.2.2.2

用 $t$ 除以 $1$ 。

$t = \frac{\ln (\frac{1}{a})}{- k}$

解题步骤 3.7.3

化简右边。

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解题步骤 3.7.3.1

将负号移到分数的前面。

$t = - \frac{\ln (\frac{1}{a})}{k}$

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