微积分学示例

$5 L = 20480 \cdot \frac{L^{4}}{4096^{2}}$

解题步骤 1

化简 $20480 \cdot \frac{L^{4}}{4096^{2}}$ 。

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解题步骤 1.1

对 $4096$ 进行 $2$ 次方运算。

$5 L = 20480 \cdot \frac{L^{4}}{16777216}$

解题步骤 1.2

约去 $4096$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1

从 $20480$ 中分解出因数 $4096$ 。

$5 L = 4096 (5) \cdot \frac{L^{4}}{16777216}$

解题步骤 1.2.2

从 $16777216$ 中分解出因数 $4096$ 。

$5 L = 4096 \cdot 5 \cdot \frac{L^{4}}{4096 \cdot 4096}$

解题步骤 1.2.3

约去公因数。

$5 L = 4096 \cdot 5 \cdot \frac{L^{4}}{4096 \cdot 4096}$

解题步骤 1.2.4

重写表达式。

$5 L = 5 \cdot \frac{L^{4}}{4096}$

$5 L = \frac{5 L^{4}}{4096}$

解题步骤 2

从等式两边同时减去 $\frac{5 L^{4}}{4096}$ 。

$5 L - \frac{5 L^{4}}{4096} = 0$

解题步骤 3

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 3.1

从 $5 L - \frac{5 L^{4}}{4096}$ 中分解出因数 $5 L$ 。

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解题步骤 3.1.1

从 $5 L$ 中分解出因数 $5 L$ 。

$5 L (1) - \frac{5 L^{4}}{4096} = 0$

解题步骤 3.1.2

从 $- \frac{5 L^{4}}{4096}$ 中分解出因数 $5 L$ 。

$5 L (1) + 5 L (- \frac{L^{3}}{4096}) = 0$

解题步骤 3.1.3

从 $5 L (1) + 5 L (- \frac{L^{3}}{4096})$ 中分解出因数 $5 L$ 。

$5 L (1 - \frac{L^{3}}{4096}) = 0$

解题步骤 3.2

将 $1$ 重写为 $1^{3}$ 。

$5 L (1^{3} - \frac{L^{3}}{4096}) = 0$

解题步骤 3.3

将 $\frac{L^{3}}{4096}$ 重写为 ${(\frac{L}{16})}^{3}$ 。

$5 L (1^{3} - {(\frac{L}{16})}^{3}) = 0$

解题步骤 3.4

因为两项都是完全立方数，所以使用立方差公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = \frac{L}{16}$ 。

$5 L ((1 - \frac{L}{16}) (1^{2} + 1 (\frac{L}{16}) + {(\frac{L}{16})}^{2})) = 0$

解题步骤 3.5

因数。

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解题步骤 3.5.1

化简。

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解题步骤 3.5.1.1

一的任意次幂都为一。

$5 L ((1 - \frac{L}{16}) (1 + 1 (\frac{L}{16}) + {(\frac{L}{16})}^{2})) = 0$

解题步骤 3.5.1.2

将 $\frac{L}{16}$ 乘以 $1$ 。

$5 L ((1 - \frac{L}{16}) (1 + \frac{L}{16} + {(\frac{L}{16})}^{2})) = 0$

解题步骤 3.5.1.3

对 $\frac{L}{16}$ 运用乘积法则。

$5 L ((1 - \frac{L}{16}) (1 + \frac{L}{16} + \frac{L^{2}}{16^{2}})) = 0$

解题步骤 3.5.1.4

对 $16$ 进行 $2$ 次方运算。

$5 L ((1 - \frac{L}{16}) (1 + \frac{L}{16} + \frac{L^{2}}{256})) = 0$

解题步骤 3.5.2

去掉多余的括号。

$5 L (1 - \frac{L}{16}) (1 + \frac{L}{16} + \frac{L^{2}}{256}) = 0$

解题步骤 4

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$L = 0$

$1 - \frac{L}{16} = 0$

$1 + \frac{L}{16} + \frac{L^{2}}{256} = 0$

解题步骤 5

将 $L$ 设为等于 $0$ 。

$L = 0$

解题步骤 6

将 $1 - \frac{L}{16}$ 设为等于 $0$ 并求解 $L$ 。

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解题步骤 6.1

将 $1 - \frac{L}{16}$ 设为等于 $0$ 。

$1 - \frac{L}{16} = 0$

解题步骤 6.2

求解 $L$ 的 $1 - \frac{L}{16} = 0$ 。

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解题步骤 6.2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$- \frac{L}{16} = - 1$

解题步骤 6.2.2

等式两边同时乘以 $- 16$ 。

$- 16 (- \frac{L}{16}) = - 16 \cdot - 1$

解题步骤 6.2.3

化简方程的两边。

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解题步骤 6.2.3.1

化简左边。

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解题步骤 6.2.3.1.1

化简 $- 16 (- \frac{L}{16})$ 。

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解题步骤 6.2.3.1.1.1

约去 $16$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.3.1.1.1.1

将 $- \frac{L}{16}$ 中前置负号移到分子中。

$- 16 \frac{- L}{16} = - 16 \cdot - 1$

解题步骤 6.2.3.1.1.1.2

从 $- 16$ 中分解出因数 $16$ 。

$16 (- 1) \frac{- L}{16} = - 16 \cdot - 1$

解题步骤 6.2.3.1.1.1.3

约去公因数。

$16 \cdot - 1 \frac{- L}{16} = - 16 \cdot - 1$

解题步骤 6.2.3.1.1.1.4

重写表达式。

$- - L = - 16 \cdot - 1$

解题步骤 6.2.3.1.1.2

乘。

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解题步骤 6.2.3.1.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 L = - 16 \cdot - 1$

解题步骤 6.2.3.1.1.2.2

将 $L$ 乘以 $1$ 。

$L = - 16 \cdot - 1$

解题步骤 6.2.3.2

化简右边。

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解题步骤 6.2.3.2.1

将 $- 16$ 乘以 $- 1$ 。

$L = 16$

解题步骤 7

将 $1 + \frac{L}{16} + \frac{L^{2}}{256}$ 设为等于 $0$ 并求解 $L$ 。

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解题步骤 7.1

将 $1 + \frac{L}{16} + \frac{L^{2}}{256}$ 设为等于 $0$ 。

$1 + \frac{L}{16} + \frac{L^{2}}{256} = 0$

解题步骤 7.2

求解 $L$ 的 $1 + \frac{L}{16} + \frac{L^{2}}{256} = 0$ 。

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解题步骤 7.2.1

全部乘以最小公分母 $256$ ，然后化简。

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解题步骤 7.2.1.1

运用分配律。

$256 \cdot 1 + 256 (\frac{L}{16}) + 256 (\frac{L^{2}}{256}) = 0$

解题步骤 7.2.1.2

化简。

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解题步骤 7.2.1.2.1

将 $256$ 乘以 $1$ 。

$256 + 256 (\frac{L}{16}) + 256 (\frac{L^{2}}{256}) = 0$

解题步骤 7.2.1.2.2

约去 $16$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.1.2.2.1

从 $256$ 中分解出因数 $16$ 。

$256 + 16 (16) (\frac{L}{16}) + 256 (\frac{L^{2}}{256}) = 0$

解题步骤 7.2.1.2.2.2

约去公因数。

$256 + 16 \cdot (16 (\frac{L}{16})) + 256 (\frac{L^{2}}{256}) = 0$

解题步骤 7.2.1.2.2.3

重写表达式。

$256 + 16 L + 256 (\frac{L^{2}}{256}) = 0$

解题步骤 7.2.1.2.3

约去 $256$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.1.2.3.1

约去公因数。

$256 + 16 L + 256 (\frac{L^{2}}{256}) = 0$

解题步骤 7.2.1.2.3.2

重写表达式。

$256 + 16 L + L^{2} = 0$

解题步骤 7.2.1.3

移动 $256$ 。

$16 L + L^{2} + 256 = 0$

解题步骤 7.2.1.4

将 $16 L$ 和 $L^{2}$ 重新排序。

$L^{2} + 16 L + 256 = 0$

解题步骤 7.2.2

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 7.2.3

将 $a = 1$ 、 $b = 16$ 和 $c = 256$ 的值代入二次公式中并求解 $L$ 。

$\frac{- 16 \pm \sqrt{16^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 256)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.2.4

化简。

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解题步骤 7.2.4.1

化简分子。

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解题步骤 7.2.4.1.1

对 $16$ 进行 $2$ 次方运算。

$L = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 1 \cdot 256}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.2.4.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 256$ 。

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解题步骤 7.2.4.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$L = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 256}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.2.4.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $256$ 。

$L = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 1024}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.2.4.1.3

从 $256$ 中减去 $1024$ 。

$L = \frac{- 16 \pm \sqrt{- 768}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.2.4.1.4

将 $- 768$ 重写为 $- 1 (768)$ 。

$L = \frac{- 16 \pm \sqrt{- 1 \cdot 768}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.2.4.1.5

将 $\sqrt{- 1 (768)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{768}$ 。

$L = \frac{- 16 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{768}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.2.4.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$L = \frac{- 16 \pm i \cdot \sqrt{768}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.2.4.1.7

将 $768$ 重写为 $16^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 7.2.4.1.7.1

从 $768$ 中分解出因数 $256$ 。

$L = \frac{- 16 \pm i \cdot \sqrt{256 (3)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.2.4.1.7.2

将 $256$ 重写为 $16^{2}$ 。

$L = \frac{- 16 \pm i \cdot \sqrt{16^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.2.4.1.8

从根式下提出各项。

$L = \frac{- 16 \pm i \cdot (16 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.2.4.1.9

将 $16$ 移到 $i$ 的左侧。

$L = \frac{- 16 \pm 16 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.2.4.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$L = \frac{- 16 \pm 16 i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 7.2.4.3

化简 $\frac{- 16 \pm 16 i \sqrt{3}}{2}$ 。

$L = - 8 \pm 8 i \sqrt{3}$

解题步骤 7.2.5

最终答案为两个解的组合。

$L = - 8 + 8 i \sqrt{3}, - 8 - 8 i \sqrt{3}$

解题步骤 8

最终解为使 $5 L (1 - \frac{L}{16}) (1 + \frac{L}{16} + \frac{L^{2}}{256}) = 0$ 成立的所有值。

$L = 0, 16, - 8 + 8 i \sqrt{3}, - 8 - 8 i \sqrt{3}$

微积分学 示例

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