微积分学示例

$\log_{8} (z - 6) = 2 - \log_{8} (z + 15)$

解题步骤 1

将所有包含对数的项移到等式左边。

$\log_{8} (z - 6) + \log_{8} (z + 15) = 2$

解题步骤 2

使用对数积的性质，即 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 。

$\log_{8} ((z - 6) (z + 15)) = 2$

解题步骤 3

使用 FOIL 方法展开 $(z - 6) (z + 15)$ 。

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解题步骤 3.1

运用分配律。

$\log_{8} (z (z + 15) - 6 (z + 15)) = 2$

解题步骤 3.2

运用分配律。

$\log_{8} (z \cdot z + z \cdot 15 - 6 (z + 15)) = 2$

解题步骤 3.3

运用分配律。

$\log_{8} (z \cdot z + z \cdot 15 - 6 z - 6 \cdot 15) = 2$

解题步骤 4

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.1

将 $z$ 乘以 $z$ 。

$\log_{8} (z^{2} + z \cdot 15 - 6 z - 6 \cdot 15) = 2$

解题步骤 4.1.2

将 $15$ 移到 $z$ 的左侧。

$\log_{8} (z^{2} + 15 \cdot z - 6 z - 6 \cdot 15) = 2$

解题步骤 4.1.3

将 $- 6$ 乘以 $15$ 。

$\log_{8} (z^{2} + 15 z - 6 z - 90) = 2$

解题步骤 4.2

从 $15 z$ 中减去 $6 z$ 。

$\log_{8} (z^{2} + 9 z - 90) = 2$

解题步骤 5

使用对数的定义将 $\log_{8} (z^{2} + 9 z - 90) = 2$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$8^{2} = z^{2} + 9 z - 90$

解题步骤 6

求解 $z$ 。

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解题步骤 6.1

将方程重写为 $z^{2} + 9 z - 90 = 8^{2}$ 。

$z^{2} + 9 z - 90 = 8^{2}$

解题步骤 6.2

对 $8$ 进行 $2$ 次方运算。

$z^{2} + 9 z - 90 = 64$

解题步骤 6.3

将所有项移到等式左边并化简。

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解题步骤 6.3.1

从等式两边同时减去 $64$ 。

$z^{2} + 9 z - 90 - 64 = 0$

解题步骤 6.3.2

从 $- 90$ 中减去 $64$ 。

$z^{2} + 9 z - 154 = 0$

解题步骤 6.4

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 6.5

将 $a = 1$ 、 $b = 9$ 和 $c = - 154$ 的值代入二次公式中并求解 $z$ 。

$\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 154)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.6

化简。

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解题步骤 6.6.1

化简分子。

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解题步骤 6.6.1.1

对 $9$ 进行 $2$ 次方运算。

$z = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot 1 \cdot - 154}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.6.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot - 154$ 。

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解题步骤 6.6.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$z = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot - 154}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.6.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $- 154$ 。

$z = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 + 616}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.6.1.3

将 $81$ 和 $616$ 相加。

$z = \frac{- 9 \pm \sqrt{697}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.6.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$z = \frac{- 9 \pm \sqrt{697}}{2}$

解题步骤 6.7

最终答案为两个解的组合。

$z = - \frac{9 - \sqrt{697}}{2}, - \frac{9 + \sqrt{697}}{2}$

解题步骤 7

排除不能使 $\log_{8} (z - 6) = 2 - \log_{8} (z + 15)$ 成立的解。

$z = - \frac{9 - \sqrt{697}}{2}$

解题步骤 8

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$z = - \frac{9 - \sqrt{697}}{2}$

小数形式：

$z = 8.70037878 \dots$

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