微积分学示例

$2 \sin (x) \cos (x) - \sin (2 x) \cos (2 x) = 0$

解题步骤 1

使用倍角公式把 $\cos (2 x)$ 转换为 $1 - 2 \sin^{2} (x)$ 。

$2 \sin (x) \cos (x) - \sin (2 x) (1 - 2 \sin^{2} (x)) = 0$

解题步骤 2

化简左边。

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解题步骤 2.1

化简 $2 \sin (x) \cos (x) - \sin (2 x) (1 - 2 \sin^{2} (x))$ 。

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解题步骤 2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.1.1

使用正弦倍角公式。

$2 \sin (x) \cos (x) - (2 \sin (x) \cos (x)) (1 - 2 \sin^{2} (x)) = 0$

解题步骤 2.1.1.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$2 \sin (x) \cos (x) - 2 (\sin (x) \cos (x)) (1 - 2 \sin^{2} (x)) = 0$

解题步骤 2.1.1.3

运用分配律。

$2 \sin (x) \cos (x) - 2 \sin (x) \cos (x) \cdot 1 - 2 \sin (x) \cos (x) (- 2 \sin^{2} (x)) = 0$

解题步骤 2.1.1.4

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$2 \sin (x) \cos (x) - 2 \sin (x) \cos (x) - 2 \sin (x) \cos (x) (- 2 \sin^{2} (x)) = 0$

解题步骤 2.1.1.5

通过指数相加将 $\sin (x)$ 乘以 $\sin^{2} (x)$ 。

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解题步骤 2.1.1.5.1

移动 $\sin^{2} (x)$ 。

$2 \sin (x) \cos (x) - 2 \sin (x) \cos (x) - 2 (\sin^{2} (x) \sin (x)) \cos (x) \cdot - 2 = 0$

解题步骤 2.1.1.5.2

将 $\sin^{2} (x)$ 乘以 $\sin (x)$ 。

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解题步骤 2.1.1.5.2.1

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 \sin (x) \cos (x) - 2 \sin (x) \cos (x) - 2 (\sin^{2} (x) \sin^{1} (x)) \cos (x) \cdot - 2 = 0$

解题步骤 2.1.1.5.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 \sin (x) \cos (x) - 2 \sin (x) \cos (x) - 2 {\sin (x)}^{2 + 1} \cos (x) \cdot - 2 = 0$

解题步骤 2.1.1.5.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$2 \sin (x) \cos (x) - 2 \sin (x) \cos (x) - 2 \sin^{3} (x) \cos (x) \cdot - 2 = 0$

解题步骤 2.1.1.6

将 $- 2$ 乘以 $- 2$ 。

$2 \sin (x) \cos (x) - 2 \sin (x) \cos (x) + 4 \sin^{3} (x) \cos (x) = 0$

解题步骤 2.1.2

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 2.1.2.1

从 $2 \sin (x) \cos (x)$ 中减去 $2 \sin (x) \cos (x)$ 。

$0 + 4 \sin^{3} (x) \cos (x) = 0$

解题步骤 2.1.2.2

将 $0$ 和 $4 \sin^{3} (x) \cos (x)$ 相加。

$4 \sin^{3} (x) \cos (x) = 0$

解题步骤 3

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 3.1

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$\sin^{3} (x) = 0$

$\cos (x) = 0$

解题步骤 3.2

将 $\sin^{3} (x)$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.2.1

将 $\sin^{3} (x)$ 设为等于 $0$ 。

$\sin^{3} (x) = 0$

解题步骤 3.2.2

求解 $x$ 的 $\sin^{3} (x) = 0$ 。

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解题步骤 3.2.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (x) = \sqrt[3]{0}$

解题步骤 3.2.2.2

化简 $\sqrt[3]{0}$ 。

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解题步骤 3.2.2.2.1

将 $0$ 重写为 $0^{3}$ 。

$\sin (x) = \sqrt[3]{0^{3}}$

解题步骤 3.2.2.2.2

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$\sin (x) = 0$

解题步骤 3.2.2.3

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x = \arcsin (0)$

解题步骤 3.2.2.4

化简右边。

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解题步骤 3.2.2.4.1

$\arcsin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 3.2.2.5

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$x = π - 0$

解题步骤 3.2.2.6

从 $π$ 中减去 $0$ 。

$x = π$

解题步骤 3.2.2.7

求 $\sin (x)$ 的周期。

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解题步骤 3.2.2.7.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 3.2.2.7.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 3.2.2.7.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 3.2.2.7.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 3.2.2.8

$\sin (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = 2 π n, π + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 3.3

将 $\cos (x)$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.3.1

将 $\cos (x)$ 设为等于 $0$ 。

$\cos (x) = 0$

解题步骤 3.3.2

求解 $x$ 的 $\cos (x) = 0$ 。

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解题步骤 3.3.2.1

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$x = \arccos (0)$

解题步骤 3.3.2.2

化简右边。

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解题步骤 3.3.2.2.1

$\arccos (0)$ 的准确值为 $\frac{π}{2}$ 。

$x = \frac{π}{2}$

解题步骤 3.3.2.3

余弦函数在第一象限和第四象限恒为正。要求第二个解，从 $2 π$ 中减去参考角即可求出第四象限中的解。

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

解题步骤 3.3.2.4

化简 $2 π - \frac{π}{2}$ 。

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解题步骤 3.3.2.4.1

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 3.3.2.4.2

合并分数。

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解题步骤 3.3.2.4.2.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 3.3.2.4.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

解题步骤 3.3.2.4.3

化简分子。

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解题步骤 3.3.2.4.3.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{4 π - π}{2}$

解题步骤 3.3.2.4.3.2

从 $4 π$ 中减去 $π$ 。

$x = \frac{3 π}{2}$

解题步骤 3.3.2.5

求 $\cos (x)$ 的周期。

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解题步骤 3.3.2.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 3.3.2.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 3.3.2.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 3.3.2.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 3.3.2.6

$\cos (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 3.4

最终解为使 $4 \sin^{3} (x) \cos (x) = 0$ 成立的所有值。

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 4

合并答案。

$x = \frac{π n}{2}$ ，对于任意整数 $n$

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