微积分学示例

$10 {(1 + e^{- x})}^{- 1} = 3$

解题步骤 1

将 $10 {(1 + e^{- x})}^{- 1} = 3$ 中的每一项除以 $10$ 并化简。

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解题步骤 1.1

将 $10 {(1 + e^{- x})}^{- 1} = 3$ 中的每一项都除以 $10$ 。

$\frac{10 {(1 + e^{- x})}^{- 1}}{10} = \frac{3}{10}$

解题步骤 1.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(1 + e^{- x})}^{- 1}$ 移动到分母。

$\frac{10}{10 (1 + e^{- x})} = \frac{3}{10}$

解题步骤 1.2.2

约去 $10$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.2.1

约去公因数。

$\frac{10}{10 (1 + e^{- x})} = \frac{3}{10}$

解题步骤 1.2.2.2

重写表达式。

$\frac{1}{1 + e^{- x}} = \frac{3}{10}$

解题步骤 2

两边同时乘以 $1 + e^{- x}$ 。

$\frac{1}{1 + e^{- x}} (1 + e^{- x}) = \frac{3}{10} (1 + e^{- x})$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

化简左边。

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解题步骤 3.1.1

约去 $1 + e^{- x}$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.1.1

约去公因数。

$\frac{1}{1 + e^{- x}} (1 + e^{- x}) = \frac{3}{10} (1 + e^{- x})$

解题步骤 3.1.1.2

重写表达式。

$1 = \frac{3}{10} (1 + e^{- x})$

解题步骤 3.2

化简右边。

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解题步骤 3.2.1

化简 $\frac{3}{10} (1 + e^{- x})$ 。

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解题步骤 3.2.1.1

运用分配律。

$1 = \frac{3}{10} \cdot 1 + \frac{3}{10} e^{- x}$

解题步骤 3.2.1.2

将 $\frac{3}{10}$ 乘以 $1$ 。

$1 = \frac{3}{10} + \frac{3}{10} e^{- x}$

解题步骤 3.2.1.3

组合 $\frac{3}{10}$ 和 $e^{- x}$ 。

$1 = \frac{3}{10} + \frac{3 e^{- x}}{10}$

解题步骤 4

求解 $x$ 。

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解题步骤 4.1

将方程重写为 $\frac{3}{10} + \frac{3 e^{- x}}{10} = 1$ 。

$\frac{3}{10} + \frac{3 e^{- x}}{10} = 1$

解题步骤 4.2

将所有不包含 $x$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 4.2.1

从等式两边同时减去 $\frac{3}{10}$ 。

$\frac{3 e^{- x}}{10} = 1 - \frac{3}{10}$

解题步骤 4.2.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{3 e^{- x}}{10} = \frac{10}{10} - \frac{3}{10}$

解题步骤 4.2.3

在公分母上合并分子。

$\frac{3 e^{- x}}{10} = \frac{10 - 3}{10}$

解题步骤 4.2.4

从 $10$ 中减去 $3$ 。

$\frac{3 e^{- x}}{10} = \frac{7}{10}$

解题步骤 4.3

因为方程两边的表达式具有相同的分母，所以分子必须相等。

$3 e^{- x} = 7$

解题步骤 4.4

将 $3 e^{- x} = 7$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 4.4.1

将 $3 e^{- x} = 7$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 e^{- x}}{3} = \frac{7}{3}$

解题步骤 4.4.2

化简左边。

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解题步骤 4.4.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 4.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 e^{- x}}{3} = \frac{7}{3}$

解题步骤 4.4.2.1.2

用 $e^{- x}$ 除以 $1$ 。

$e^{- x} = \frac{7}{3}$

解题步骤 4.5

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{- x}) = \ln (\frac{7}{3})$

解题步骤 4.6

展开左边。

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解题步骤 4.6.1

通过将 $- x$ 移到对数外来展开 $\ln (e^{- x})$ 。

$- x \ln (e) = \ln (\frac{7}{3})$

解题步骤 4.6.2

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$- x \cdot 1 = \ln (\frac{7}{3})$

解题步骤 4.6.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- x = \ln (\frac{7}{3})$

解题步骤 4.7

将 $- x = \ln (\frac{7}{3})$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 4.7.1

将 $- x = \ln (\frac{7}{3})$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- x}{- 1} = \frac{\ln (\frac{7}{3})}{- 1}$

解题步骤 4.7.2

化简左边。

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解题步骤 4.7.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x}{1} = \frac{\ln (\frac{7}{3})}{- 1}$

解题步骤 4.7.2.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{\ln (\frac{7}{3})}{- 1}$

解题步骤 4.7.3

化简右边。

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解题步骤 4.7.3.1

移动 $\frac{\ln (\frac{7}{3})}{- 1}$ 中分母的负号。

$x = - 1 \cdot \ln (\frac{7}{3})$

解题步骤 4.7.3.2

将 $- 1 \cdot \ln (\frac{7}{3})$ 重写为 $- \ln (\frac{7}{3})$ 。

$x = - \ln (\frac{7}{3})$

解题步骤 5

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$x = - \ln (\frac{7}{3})$

小数形式：

$x = - 0.84729786 \dots$

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