微积分学示例

$\frac{lim_{h \to 0} (3 {(\frac{1}{2} + h)}^{5}) - 3 {(\frac{1}{2})}^{5}}{h}$

解题步骤 1

计算极限值。

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解题步骤 1.1

当 $h$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{h \to 0} 3 {(\frac{1}{2} + h)}^{5} - lim_{h \to 0} 3 {(\frac{1}{2})}^{5}}{h}$

解题步骤 1.2

因为项 $3$ 对于 $h$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{3 lim_{h \to 0} {(\frac{1}{2} + h)}^{5} - lim_{h \to 0} 3 {(\frac{1}{2})}^{5}}{h}$

解题步骤 1.3

使用极限幂法则把 ${(\frac{1}{2} + h)}^{5}$ 的指数 $5$ 移到极限外。

$\frac{3 {(lim_{h \to 0} \frac{1}{2} + h)}^{5} - lim_{h \to 0} 3 {(\frac{1}{2})}^{5}}{h}$

解题步骤 1.4

当 $h$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{3 {(lim_{h \to 0} \frac{1}{2} + lim_{h \to 0} h)}^{5} - lim_{h \to 0} 3 {(\frac{1}{2})}^{5}}{h}$

解题步骤 1.5

计算 $\frac{1}{2}$ 的极限值，当 $h$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{3 {(\frac{1}{2} + lim_{h \to 0} h)}^{5} - lim_{h \to 0} 3 {(\frac{1}{2})}^{5}}{h}$

解题步骤 1.6

计算 $3 {(\frac{1}{2})}^{5}$ 的极限值，当 $h$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{3 {(\frac{1}{2} + lim_{h \to 0} h)}^{5} - 3 {(\frac{1}{2})}^{5}}{h}$

解题步骤 2

将 $0$ 代入 $h$ 来计算 $h$ 的极限值。

$\frac{3 {(\frac{1}{2} + 0)}^{5} - 3 {(\frac{1}{2})}^{5}}{h}$

解题步骤 3

化简答案。

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解题步骤 3.1

化简分子。

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解题步骤 3.1.1

将 $\frac{1}{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{3 {(\frac{1}{2})}^{5} - 3 {(\frac{1}{2})}^{5}}{h}$

解题步骤 3.1.2

对 $\frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$\frac{3 \frac{1^{5}}{2^{5}} - 3 {(\frac{1}{2})}^{5}}{h}$

解题步骤 3.1.3

一的任意次幂都为一。

$\frac{3 \frac{1}{2^{5}} - 3 {(\frac{1}{2})}^{5}}{h}$

解题步骤 3.1.4

对 $2$ 进行 $5$ 次方运算。

$\frac{3 (\frac{1}{32}) - 3 {(\frac{1}{2})}^{5}}{h}$

解题步骤 3.1.5

组合 $3$ 和 $\frac{1}{32}$ 。

$\frac{\frac{3}{32} - 3 {(\frac{1}{2})}^{5}}{h}$

解题步骤 3.1.6

对 $\frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$\frac{\frac{3}{32} - 3 \frac{1^{5}}{2^{5}}}{h}$

解题步骤 3.1.7

一的任意次幂都为一。

$\frac{\frac{3}{32} - 3 \frac{1}{2^{5}}}{h}$

解题步骤 3.1.8

对 $2$ 进行 $5$ 次方运算。

$\frac{\frac{3}{32} - 3 (\frac{1}{32})}{h}$

解题步骤 3.1.9

组合 $- 3$ 和 $\frac{1}{32}$ 。

$\frac{\frac{3}{32} + \frac{- 3}{32}}{h}$

解题步骤 3.1.10

将负号移到分数的前面。

$\frac{\frac{3}{32} - \frac{3}{32}}{h}$

解题步骤 3.1.11

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{3 - 3}{32}}{h}$

解题步骤 3.1.12

从 $3$ 中减去 $3$ 。

$\frac{\frac{0}{32}}{h}$

解题步骤 3.1.13

用 $0$ 除以 $32$ 。

$\frac{0}{h}$

解题步骤 3.2

用 $0$ 除以 $h$ 。

$0$

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