微积分学示例

$2 \ln (2 x) + \ln (16 x) = 0$

解题步骤 1

将所有包含对数的项移到等式左边。

$2 \ln (2 x) + \ln (16 x) = 0$

解题步骤 2

化简左边。

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解题步骤 2.1

化简 $2 \ln (2 x) + \ln (16 x)$ 。

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解题步骤 2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.1.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $2 \ln (2 x)$ 。

$\ln ({(2 x)}^{2}) + \ln (16 x) = 0$

解题步骤 2.1.1.2

对 $2 x$ 运用乘积法则。

$\ln (2^{2} x^{2}) + \ln (16 x) = 0$

解题步骤 2.1.1.3

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\ln (4 x^{2}) + \ln (16 x) = 0$

解题步骤 2.1.2

使用对数积的性质，即 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 。

$\ln (4 x^{2} (16 x)) = 0$

解题步骤 2.1.3

使用乘法的交换性质重写。

$\ln (4 \cdot 16 x^{2} x) = 0$

解题步骤 2.1.4

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.1.4.1

移动 $x$ 。

$\ln (4 \cdot 16 (x \cdot x^{2})) = 0$

解题步骤 2.1.4.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.1.4.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\ln (4 \cdot 16 (x^{1} x^{2})) = 0$

解题步骤 2.1.4.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\ln (4 \cdot 16 x^{1 + 2}) = 0$

解题步骤 2.1.4.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\ln (4 \cdot 16 x^{3}) = 0$

解题步骤 2.1.5

将 $4$ 乘以 $16$ 。

$\ln (64 x^{3}) = 0$

解题步骤 3

要求解 $x$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (64 x^{3})} = e^{0}$

解题步骤 4

使用对数的定义将 $\ln (64 x^{3}) = 0$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{0} = 64 x^{3}$

解题步骤 5

求解 $x$ 。

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解题步骤 5.1

将方程重写为 $64 x^{3} = e^{0}$ 。

$64 x^{3} = e^{0}$

解题步骤 5.2

从等式两边同时减去 $e^{0}$ 。

$64 x^{3} - e^{0} = 0$

解题步骤 5.3

化简每一项。

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解题步骤 5.3.1

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$64 x^{3} - 1 \cdot 1 = 0$

解题步骤 5.3.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$64 x^{3} - 1 = 0$

解题步骤 5.4

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 5.4.1

将 $64 x^{3}$ 重写为 ${(4 x)}^{3}$ 。

${(4 x)}^{3} - 1 = 0$

解题步骤 5.4.2

将 $1$ 重写为 $1^{3}$ 。

${(4 x)}^{3} - 1^{3} = 0$

解题步骤 5.4.3

因为两项都是完全立方数，所以使用立方差公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = 4 x$ 和 $b = 1$ 。

$(4 x - 1) ({(4 x)}^{2} + 4 x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

解题步骤 5.4.4

化简。

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解题步骤 5.4.4.1

对 $4 x$ 运用乘积法则。

$(4 x - 1) (4^{2} x^{2} + 4 x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

解题步骤 5.4.4.2

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$(4 x - 1) (16 x^{2} + 4 x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

解题步骤 5.4.4.3

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$(4 x - 1) (16 x^{2} + 4 x + 1^{2}) = 0$

解题步骤 5.4.4.4

一的任意次幂都为一。

$(4 x - 1) (16 x^{2} + 4 x + 1) = 0$

解题步骤 5.5

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$4 x - 1 = 0$

$16 x^{2} + 4 x + 1 = 0$

解题步骤 5.6

将 $4 x - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.6.1

将 $4 x - 1$ 设为等于 $0$ 。

$4 x - 1 = 0$

解题步骤 5.6.2

求解 $x$ 的 $4 x - 1 = 0$ 。

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解题步骤 5.6.2.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$4 x = 1$

解题步骤 5.6.2.2

将 $4 x = 1$ 中的每一项除以 $4$ 并化简。

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解题步骤 5.6.2.2.1

将 $4 x = 1$ 中的每一项都除以 $4$ 。

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

解题步骤 5.6.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.6.2.2.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 5.6.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

解题步骤 5.6.2.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{1}{4}$

解题步骤 5.7

将 $16 x^{2} + 4 x + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.7.1

将 $16 x^{2} + 4 x + 1$ 设为等于 $0$ 。

$16 x^{2} + 4 x + 1 = 0$

解题步骤 5.7.2

求解 $x$ 的 $16 x^{2} + 4 x + 1 = 0$ 。

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解题步骤 5.7.2.1

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 5.7.2.2

将 $a = 16$ 、 $b = 4$ 和 $c = 1$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (16 \cdot 1)}}{2 \cdot 16}$

解题步骤 5.7.2.3

化简。

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解题步骤 5.7.2.3.1

化简分子。

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解题步骤 5.7.2.3.1.1

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16 \cdot 1}}{2 \cdot 16}$

解题步骤 5.7.2.3.1.2

乘以 $- 4 \cdot 16 \cdot 1$ 。

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解题步骤 5.7.2.3.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $16$ 。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64 \cdot 1}}{2 \cdot 16}$

解题步骤 5.7.2.3.1.2.2

将 $- 64$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 16}$

解题步骤 5.7.2.3.1.3

从 $16$ 中减去 $64$ 。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 16}$

解题步骤 5.7.2.3.1.4

将 $- 48$ 重写为 $- 1 (48)$ 。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 16}$

解题步骤 5.7.2.3.1.5

将 $\sqrt{- 1 (48)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ 。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 16}$

解题步骤 5.7.2.3.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 16}$

解题步骤 5.7.2.3.1.7

将 $48$ 重写为 $4^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 5.7.2.3.1.7.1

从 $48$ 中分解出因数 $16$ 。

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 16}$

解题步骤 5.7.2.3.1.7.2

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

解题步骤 5.7.2.3.1.8

从根式下提出各项。

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}$

解题步骤 5.7.2.3.1.9

将 $4$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

解题步骤 5.7.2.3.2

将 $2$ 乘以 $16$ 。

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{32}$

解题步骤 5.7.2.3.3

化简 $\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{32}$ 。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{8}$

解题步骤 5.7.2.4

最终答案为两个解的组合。

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{8}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{8}$

解题步骤 5.8

最终解为使 $(4 x - 1) (16 x^{2} + 4 x + 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = \frac{1}{4}, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{8}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{8}$

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