微积分学示例

$\ln (x - 2) + \ln (2 x - 3) = 2 \ln (x)$

解题步骤 1

化简左边。

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解题步骤 1.1

使用对数积的性质，即 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 。

$\ln ((x - 2) (2 x - 3)) = 2 \ln (x)$

解题步骤 1.2

使用 FOIL 方法展开 $(x - 2) (2 x - 3)$ 。

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解题步骤 1.2.1

运用分配律。

$\ln (x (2 x - 3) - 2 (2 x - 3)) = 2 \ln (x)$

解题步骤 1.2.2

运用分配律。

$\ln (x (2 x) + x \cdot - 3 - 2 (2 x - 3)) = 2 \ln (x)$

解题步骤 1.2.3

运用分配律。

$\ln (x (2 x) + x \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3) = 2 \ln (x)$

解题步骤 1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\ln (2 x \cdot x + x \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3) = 2 \ln (x)$

解题步骤 1.3.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.3.1.2.1

移动 $x$ 。

$\ln (2 (x \cdot x) + x \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3) = 2 \ln (x)$

解题步骤 1.3.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\ln (2 x^{2} + x \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3) = 2 \ln (x)$

解题步骤 1.3.1.3

将 $- 3$ 移到 $x$ 的左侧。

$\ln (2 x^{2} - 3 \cdot x - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3) = 2 \ln (x)$

解题步骤 1.3.1.4

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$\ln (2 x^{2} - 3 x - 4 x - 2 \cdot - 3) = 2 \ln (x)$

解题步骤 1.3.1.5

将 $- 2$ 乘以 $- 3$ 。

$\ln (2 x^{2} - 3 x - 4 x + 6) = 2 \ln (x)$

解题步骤 1.3.2

从 $- 3 x$ 中减去 $4 x$ 。

$\ln (2 x^{2} - 7 x + 6) = 2 \ln (x)$

解题步骤 2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $2 \ln (x)$ 。

$\ln (2 x^{2} - 7 x + 6) = \ln (x^{2})$

解题步骤 3

为使方程成立，方程两边对数的自变量必须相等。

$2 x^{2} - 7 x + 6 = x^{2}$

解题步骤 4

求解 $x$ 。

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解题步骤 4.1

将所有包含 $x$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 4.1.1

从等式两边同时减去 $x^{2}$ 。

$2 x^{2} - 7 x + 6 - x^{2} = 0$

解题步骤 4.1.2

从 $2 x^{2}$ 中减去 $x^{2}$ 。

$x^{2} - 7 x + 6 = 0$

解题步骤 4.2

使用 AC 法来对 $x^{2} - 7 x + 6$ 进行因式分解。

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解题步骤 4.2.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $6$ ，和为 $- 7$ 。

$- 6, - 1$

解题步骤 4.2.2

使用这些整数书写分数形式。

$(x - 6) (x - 1) = 0$

解题步骤 4.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x - 6 = 0$

$x - 1 = 0$

解题步骤 4.4

将 $x - 6$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.4.1

将 $x - 6$ 设为等于 $0$ 。

$x - 6 = 0$

解题步骤 4.4.2

在等式两边都加上 $6$ 。

$x = 6$

解题步骤 4.5

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.5.1

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 。

$x - 1 = 0$

解题步骤 4.5.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$x = 1$

解题步骤 4.6

最终解为使 $(x - 6) (x - 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = 6, 1$

解题步骤 5

排除不能使 $\ln (x - 2) + \ln (2 x - 3) = 2 \ln (x)$ 成立的解。

$x = 6$

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