微积分学示例

$\ln (x) - \ln (\frac{1}{x}) = 2$

解题步骤 1

化简左边。

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解题步骤 1.1

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\ln (\frac{x}{\frac{1}{x}}) = 2$

解题步骤 1.2

将分子乘以分母的倒数。

$\ln (x \cdot x) = 2$

解题步骤 1.3

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\ln (x^{2}) = 2$

解题步骤 2

以指数形式书写。

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解题步骤 2.1

对于对数方程，只要满足 $x > 0$ 、 $b > 0$ 和 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 和 $b^{y} = x$ 是等价的。在本例中， $b = e$ 、 $x = x^{2}$ 和 $y = 2$ 。

$b = e$

$x = x^{2}$

$y = 2$

解题步骤 2.2

将 $b$ 、 $x$ 和 $y$ 的值代入方程 $b^{y} = x$ 。

$e^{2} = x^{2}$

解题步骤 3

求解 $x$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $x^{2} = e^{2}$ 。

$x^{2} = e^{2}$

解题步骤 3.2

因为指数相等，所以方程两边指数的底必须相等。

$| x | = | e |$

解题步骤 3.3

求解 $x$ 。

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解题步骤 3.3.1

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$x = \pm | e |$

解题步骤 3.3.2

$e$ 约为 $2.71828182$ ，因其为正数，所以去掉绝对值

$x = \pm e$

解题步骤 3.3.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 3.3.3.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = e$

解题步骤 3.3.3.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - e$

解题步骤 3.3.3.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = e, - e$

解题步骤 4

排除不能使 $\ln (x) - \ln (\frac{1}{x}) = 2$ 成立的解。

$x = e$

解题步骤 5

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$x = e$

小数形式：

$x = 2.71828182 \dots$

微积分学 示例

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