微积分学示例

$\ln (x) + \ln (x - 1) = 5$

解题步骤 1

化简左边。

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解题步骤 1.1

使用对数积的性质，即 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 。

$\ln (x (x - 1)) = 5$

解题步骤 1.2

通过相乘进行化简。

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解题步骤 1.2.1

运用分配律。

$\ln (x \cdot x + x \cdot - 1) = 5$

解题步骤 1.2.2

化简表达式。

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解题步骤 1.2.2.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\ln (x^{2} + x \cdot - 1) = 5$

解题步骤 1.2.2.2

将 $- 1$ 移到 $x$ 的左侧。

$\ln (x^{2} - 1 \cdot x) = 5$

解题步骤 1.3

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$\ln (x^{2} - x) = 5$

解题步骤 2

要求解 $x$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (x^{2} - x)} = e^{5}$

解题步骤 3

使用对数的定义将 $\ln (x^{2} - x) = 5$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{5} = x^{2} - x$

解题步骤 4

求解 $x$ 。

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解题步骤 4.1

将方程重写为 $x^{2} - x = e^{5}$ 。

$x^{2} - x = e^{5}$

解题步骤 4.2

从等式两边同时减去 $e^{5}$ 。

$x^{2} - x - e^{5} = 0$

解题步骤 4.3

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 4.4

将 $a = 1$ 、 $b = - 1$ 和 $c = - e^{5}$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- e^{5}))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.5

化简。

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解题步骤 4.5.1

化简分子。

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解题步骤 4.5.1.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 e^{5})}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.5.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ 。

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解题步骤 4.5.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot (- 1 e^{5})}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.5.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $- 1$ 。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4 e^{5}}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.5.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4 e^{5}}}{2}$

解题步骤 4.6

最终答案为两个解的组合。

$x = \frac{1 + \sqrt{1 + 4 e^{5}}}{2}, \frac{1 - \sqrt{1 + 4 e^{5}}}{2}$

解题步骤 5

排除不能使 $\ln (x) + \ln (x - 1) = 5$ 成立的解。

$x = \frac{1 + \sqrt{1 + 4 e^{5}}}{2}$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$x = \frac{1 + \sqrt{1 + 4 e^{5}}}{2}$

小数形式：

$x = 12.69275026 \dots$

微积分学 示例

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