微积分学示例

ln (x^{4}) - ln (x^{2}) = 2

$\ln (x^{4}) - \ln (x^{2}) = 2$

解题步骤 1

化简左边。

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解题步骤 1.1

使用对数的商数性质，即

{log}_{b} (x) - {log}_{b} (y) = {log}_{b} (\frac{x}{y})

$\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

ln (\frac{x^{4}}{x^{2}}) = 2

$\ln (\frac{x^{4}}{x^{2}}) = 2$

解题步骤 1.2

约去

x^{4}

$x^{4}$ 和

x^{2}

$x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1

从

x^{4}

$x^{4}$ 中分解出因数

x^{2}

$x^{2}$ 。

ln (\frac{x^{2} x^{2}}{x^{2}}) = 2

$\ln (\frac{x^{2} x^{2}}{x^{2}}) = 2$

解题步骤 1.2.2

约去公因数。

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解题步骤 1.2.2.1

乘以

1

$1$ 。

ln (\frac{x^{2} x^{2}}{x^{2} \cdot 1}) = 2

$\ln (\frac{x^{2} x^{2}}{x^{2} \cdot 1}) = 2$

解题步骤 1.2.2.2

约去公因数。

$\ln (\frac{x^{2} x^{2}}{x^{2} \cdot 1}) = 2$

解题步骤 1.2.2.3

重写表达式。

$\ln (\frac{x^{2}}{1}) = 2$

解题步骤 1.2.2.4

用

$x^{2}$ 除以

$1$ 。

$\ln (x^{2}) = 2$

$\ln (x^{2}) = 2$

$\ln (x^{2}) = 2$

$\ln (x^{2}) = 2$

解题步骤 2

以指数形式书写。

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解题步骤 2.1

对于对数方程，只要满足

$x > 0$ 、

$b > 0$ 和

$b \neq 1$ ，则

$\log_{b} (x) = y$ 和

$b^{y} = x$ 是等价的。在本例中，

$b = e$ 、

$x = x^{2}$ 和

$y = 2$ 。

$b = e$

$x = x^{2}$

$y = 2$

解题步骤 2.2

将

$b$ 、

$x$ 和

$y$ 的值代入方程

$b^{y} = x$ 。

$e^{2} = x^{2}$

$e^{2} = x^{2}$

解题步骤 3

求解

$x$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为

$x^{2} = e^{2}$ 。

$x^{2} = e^{2}$

解题步骤 3.2

因为指数相等，所以方程两边指数的底必须相等。

$| x | = | e |$

解题步骤 3.3

求解

$x$ 。

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解题步骤 3.3.1

去掉绝对值项。因为

$| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增

$\pm$ 。

$x = \pm | e |$

解题步骤 3.3.2

$e$ 约为

$2.71828182$ ，因其为正数，所以去掉绝对值

$x = \pm e$

解题步骤 3.3.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 3.3.3.1

首先，利用

$\pm$ 的正值求第一个解。

$x = e$

解题步骤 3.3.3.2

下一步，使用

$\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - e$

解题步骤 3.3.3.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = e, - e$

$x = e, - e$

$x = e, - e$

$x = e, - e$

解题步骤 4

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$x = e, - e$

小数形式：

$x = 2.71828182 \dots, - 2.71828182 \dots$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$