微积分学示例

$\ln (5 x^{2} + 2 x - 15) - 2 \ln (2 x - 1) = 0$

解题步骤 1

将所有包含对数的项移到等式左边。

$\ln (5 x^{2} + 2 x - 15) - 2 \ln (2 x - 1) = 0$

解题步骤 2

化简左边。

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解题步骤 2.1

化简 $\ln (5 x^{2} + 2 x - 15) - 2 \ln (2 x - 1)$ 。

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解题步骤 2.1.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- 2 \ln (2 x - 1)$ 。

$\ln (5 x^{2} + 2 x - 15) - \ln ({(2 x - 1)}^{2}) = 0$

解题步骤 2.1.2

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\ln (\frac{5 x^{2} + 2 x - 15}{{(2 x - 1)}^{2}}) = 0$

解题步骤 3

利用对数的定义将 $\ln (\frac{5 x^{2} + 2 x - 15}{{(2 x - 1)}^{2}}) = 0$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 都是正实数且 $b$ $\neq$ $1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{0} = \frac{5 x^{2} + 2 x - 15}{{(2 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 4

交叉相乘以去掉分数。

$5 x^{2} + 2 x - 15 = e^{0} ({(2 x - 1)}^{2})$

解题步骤 5

化简 $e^{0} ({(2 x - 1)}^{2})$ 。

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解题步骤 5.1

化简表达式。

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解题步骤 5.1.1

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$5 x^{2} + 2 x - 15 = 1 {(2 x - 1)}^{2}$

解题步骤 5.1.2

将 ${(2 x - 1)}^{2}$ 乘以 $1$ 。

$5 x^{2} + 2 x - 15 = {(2 x - 1)}^{2}$

解题步骤 5.1.3

将 ${(2 x - 1)}^{2}$ 重写为 $(2 x - 1) (2 x - 1)$ 。

$5 x^{2} + 2 x - 15 = (2 x - 1) (2 x - 1)$

解题步骤 5.2

使用 FOIL 方法展开 $(2 x - 1) (2 x - 1)$ 。

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解题步骤 5.2.1

运用分配律。

$5 x^{2} + 2 x - 15 = 2 x (2 x - 1) - 1 (2 x - 1)$

解题步骤 5.2.2

运用分配律。

$5 x^{2} + 2 x - 15 = 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x - 1)$

解题步骤 5.2.3

运用分配律。

$5 x^{2} + 2 x - 15 = 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1$

解题步骤 5.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 5.3.1

化简每一项。

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解题步骤 5.3.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$5 x^{2} + 2 x - 15 = 2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1$

解题步骤 5.3.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 5.3.1.2.1

移动 $x$ 。

$5 x^{2} + 2 x - 15 = 2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1$

解题步骤 5.3.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$5 x^{2} + 2 x - 15 = 2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1$

解题步骤 5.3.1.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$5 x^{2} + 2 x - 15 = 4 x^{2} + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1$

解题步骤 5.3.1.4

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$5 x^{2} + 2 x - 15 = 4 x^{2} - 2 x - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1$

解题步骤 5.3.1.5

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$5 x^{2} + 2 x - 15 = 4 x^{2} - 2 x - 2 x - 1 \cdot - 1$

解题步骤 5.3.1.6

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$5 x^{2} + 2 x - 15 = 4 x^{2} - 2 x - 2 x + 1$

解题步骤 5.3.2

从 $- 2 x$ 中减去 $2 x$ 。

$5 x^{2} + 2 x - 15 = 4 x^{2} - 4 x + 1$

解题步骤 6

将所有包含 $x$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 6.1

从等式两边同时减去 $4 x^{2}$ 。

$5 x^{2} + 2 x - 15 - 4 x^{2} = - 4 x + 1$

解题步骤 6.2

在等式两边都加上 $4 x$ 。

$5 x^{2} + 2 x - 15 - 4 x^{2} + 4 x = 1$

解题步骤 6.3

从 $5 x^{2}$ 中减去 $4 x^{2}$ 。

$x^{2} + 2 x - 15 + 4 x = 1$

解题步骤 6.4

将 $2 x$ 和 $4 x$ 相加。

$x^{2} + 6 x - 15 = 1$

解题步骤 7

将所有不包含 $x$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 7.1

在等式两边都加上 $15$ 。

$x^{2} + 6 x = 1 + 15$

解题步骤 7.2

将 $1$ 和 $15$ 相加。

$x^{2} + 6 x = 16$

解题步骤 8

从等式两边同时减去 $16$ 。

$x^{2} + 6 x - 16 = 0$

解题步骤 9

使用 AC 法来对 $x^{2} + 6 x - 16$ 进行因式分解。

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解题步骤 9.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 16$ ，和为 $6$ 。

$- 2, 8$

解题步骤 9.2

使用这些整数书写分数形式。

$(x - 2) (x + 8) = 0$

解题步骤 10

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x - 2 = 0$

$x + 8 = 0$

解题步骤 11

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 11.1

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 。

$x - 2 = 0$

解题步骤 11.2

在等式两边都加上 $2$ 。

$x = 2$

解题步骤 12

将 $x + 8$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 12.1

将 $x + 8$ 设为等于 $0$ 。

$x + 8 = 0$

解题步骤 12.2

从等式两边同时减去 $8$ 。

$x = - 8$

解题步骤 13

最终解为使 $(x - 2) (x + 8) = 0$ 成立的所有值。

$x = 2, - 8$

解题步骤 14

排除不能使 $\ln (5 x^{2} + 2 x - 15) - 2 \ln (2 x - 1) = 0$ 成立的解。

$x = 2$

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