微积分学示例

$\ln (x - 3) - \ln (x - 4) - \ln (x) = \ln (3)$

解题步骤 1

化简左边。

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解题步骤 1.1

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\ln (\frac{x - 3}{x - 4}) - \ln (x) = \ln (3)$

解题步骤 1.2

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\ln (\frac{\frac{x - 3}{x - 4}}{x}) = \ln (3)$

解题步骤 1.3

将分子乘以分母的倒数。

$\ln (\frac{x - 3}{x - 4} \cdot \frac{1}{x}) = \ln (3)$

解题步骤 1.4

将 $\frac{x - 3}{x - 4}$ 乘以 $\frac{1}{x}$ 。

$\ln (\frac{x - 3}{(x - 4) x}) = \ln (3)$

解题步骤 1.5

将 $\ln (\frac{x - 3}{(x - 4) x})$ 中的因式重新排序。

$\ln (\frac{x - 3}{x (x - 4)}) = \ln (3)$

解题步骤 2

为使方程成立，方程两边对数的自变量必须相等。

$\frac{x - 3}{x (x - 4)} = 3$

解题步骤 3

求解 $x$ 。

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解题步骤 3.1

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 3.1.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$x (x - 4), 1$

解题步骤 3.1.2

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$x (x - 4)$

解题步骤 3.2

将 $\frac{x - 3}{x (x - 4)} = 3$ 中的每一项乘以 $x (x - 4)$ 以消去分数。

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解题步骤 3.2.1

将 $\frac{x - 3}{x (x - 4)} = 3$ 中的每一项乘以 $x (x - 4)$ 。

$\frac{x - 3}{x (x - 4)} (x (x - 4)) = 3 (x (x - 4))$

解题步骤 3.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.2.1

约去 $x (x - 4)$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x - 3}{x (x - 4)} (x (x - 4)) = 3 (x (x - 4))$

解题步骤 3.2.2.1.2

重写表达式。

$x - 3 = 3 (x (x - 4))$

解题步骤 3.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.2.3.1

运用分配律。

$x - 3 = 3 (x \cdot x + x \cdot - 4)$

解题步骤 3.2.3.2

化简表达式。

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解题步骤 3.2.3.2.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$x - 3 = 3 (x^{2} + x \cdot - 4)$

解题步骤 3.2.3.2.2

将 $- 4$ 移到 $x$ 的左侧。

$x - 3 = 3 (x^{2} - 4 \cdot x)$

解题步骤 3.2.3.3

运用分配律。

$x - 3 = 3 x^{2} + 3 (- 4 x)$

解题步骤 3.2.3.4

将 $- 4$ 乘以 $3$ 。

$x - 3 = 3 x^{2} - 12 x$

解题步骤 3.3

求解方程。

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解题步骤 3.3.1

因为 $x$ 在方程的右边，所以要交换两边使其出现在方程的左边。

$3 x^{2} - 12 x = x - 3$

解题步骤 3.3.2

将所有包含 $x$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 3.3.2.1

从等式两边同时减去 $x$ 。

$3 x^{2} - 12 x - x = - 3$

解题步骤 3.3.2.2

从 $- 12 x$ 中减去 $x$ 。

$3 x^{2} - 13 x = - 3$

解题步骤 3.3.3

在等式两边都加上 $3$ 。

$3 x^{2} - 13 x + 3 = 0$

解题步骤 3.3.4

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 3.3.5

将 $a = 3$ 、 $b = - 13$ 和 $c = 3$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 3)}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.3.6

化简。

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解题步骤 3.3.6.1

化简分子。

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解题步骤 3.3.6.1.1

对 $- 13$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{13 \pm \sqrt{169 - 4 \cdot 3 \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.3.6.1.2

乘以 $- 4 \cdot 3 \cdot 3$ 。

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解题步骤 3.3.6.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{13 \pm \sqrt{169 - 12 \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.3.6.1.2.2

将 $- 12$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{13 \pm \sqrt{169 - 36}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.3.6.1.3

从 $169$ 中减去 $36$ 。

$x = \frac{13 \pm \sqrt{133}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.3.6.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{13 \pm \sqrt{133}}{6}$

解题步骤 3.3.7

最终答案为两个解的组合。

$x = \frac{13 + \sqrt{133}}{6}, \frac{13 - \sqrt{133}}{6}$

解题步骤 4

排除不能使 $\ln (x - 3) - \ln (x - 4) - \ln (x) = \ln (3)$ 成立的解。

$x = \frac{13 + \sqrt{133}}{6}$

解题步骤 5

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$x = \frac{13 + \sqrt{133}}{6}$

小数形式：

$x = 4.08876043 \dots$

微积分学 示例

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