微积分学示例

$\sin (x) = \frac{- 2 + \sqrt{20}}{4 \sqrt{2}}$

解题步骤 1

化简 $\frac{- 2 + \sqrt{20}}{4 \sqrt{2}}$ 。

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解题步骤 1.1

化简分子。

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解题步骤 1.1.1

将 $20$ 重写为 $2^{2} \cdot 5$ 。

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解题步骤 1.1.1.1

从 $20$ 中分解出因数 $4$ 。

$\sin (x) = \frac{- 2 + \sqrt{4 (5)}}{4 \sqrt{2}}$

解题步骤 1.1.1.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\sin (x) = \frac{- 2 + \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{4 \sqrt{2}}$

解题步骤 1.1.2

从根式下提出各项。

$\sin (x) = \frac{- 2 + 2 \sqrt{5}}{4 \sqrt{2}}$

解题步骤 1.2

约去 $- 2 + 2 \sqrt{5}$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\sin (x) = \frac{2 \cdot - 1 + 2 \sqrt{5}}{4 \sqrt{2}}$

解题步骤 1.2.2

从 $2 \sqrt{5}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\sin (x) = \frac{2 \cdot - 1 + 2 (\sqrt{5})}{4 \sqrt{2}}$

解题步骤 1.2.3

从 $2 \cdot - 1 + 2 (\sqrt{5})$ 中分解出因数 $2$ 。

$\sin (x) = \frac{2 \cdot (- 1 + \sqrt{5})}{4 \sqrt{2}}$

解题步骤 1.2.4

约去公因数。

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解题步骤 1.2.4.1

从 $4 \sqrt{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\sin (x) = \frac{2 \cdot (- 1 + \sqrt{5})}{2 (2 \sqrt{2})}$

解题步骤 1.2.4.2

约去公因数。

$\sin (x) = \frac{2 \cdot (- 1 + \sqrt{5})}{2 (2 \sqrt{2})}$

解题步骤 1.2.4.3

重写表达式。

$\sin (x) = \frac{- 1 + \sqrt{5}}{2 \sqrt{2}}$

解题步骤 1.3

将 $\frac{- 1 + \sqrt{5}}{2 \sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$\sin (x) = \frac{- 1 + \sqrt{5}}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

解题步骤 1.4

合并和化简分母。

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解题步骤 1.4.1

将 $\frac{- 1 + \sqrt{5}}{2 \sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$\sin (x) = \frac{(- 1 + \sqrt{5}) \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

解题步骤 1.4.2

移动 $\sqrt{2}$ 。

$\sin (x) = \frac{(- 1 + \sqrt{5}) \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

解题步骤 1.4.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sin (x) = \frac{(- 1 + \sqrt{5}) \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}$

解题步骤 1.4.4

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sin (x) = \frac{(- 1 + \sqrt{5}) \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}$

解题步骤 1.4.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\sin (x) = \frac{(- 1 + \sqrt{5}) \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

解题步骤 1.4.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\sin (x) = \frac{(- 1 + \sqrt{5}) \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}$

解题步骤 1.4.7

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 1.4.7.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sin (x) = \frac{(- 1 + \sqrt{5}) \sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.4.7.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sin (x) = \frac{(- 1 + \sqrt{5}) \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 1.4.7.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\sin (x) = \frac{(- 1 + \sqrt{5}) \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 1.4.7.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.7.4.1

约去公因数。

$\sin (x) = \frac{(- 1 + \sqrt{5}) \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 1.4.7.4.2

重写表达式。

$\sin (x) = \frac{(- 1 + \sqrt{5}) \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{1}}$

解题步骤 1.4.7.5

计算指数。

$\sin (x) = \frac{(- 1 + \sqrt{5}) \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 1.5

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\sin (x) = \frac{(- 1 + \sqrt{5}) \sqrt{2}}{4}$

解题步骤 1.6

运用分配律。

$\sin (x) = \frac{- 1 \sqrt{2} + \sqrt{5} \sqrt{2}}{4}$

解题步骤 1.7

将 $- 1 \sqrt{2}$ 重写为 $- \sqrt{2}$ 。

$\sin (x) = \frac{- \sqrt{2} + \sqrt{5} \sqrt{2}}{4}$

解题步骤 1.8

使用根数乘积法则进行合并。

$\sin (x) = \frac{- \sqrt{2} + \sqrt{5 \cdot 2}}{4}$

解题步骤 1.9

将 $5$ 乘以 $2$ 。

$\sin (x) = \frac{- \sqrt{2} + \sqrt{10}}{4}$

解题步骤 1.10

从 $- \sqrt{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\sin (x) = \frac{- (\sqrt{2}) + \sqrt{10}}{4}$

解题步骤 1.11

从 $\sqrt{10}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\sin (x) = \frac{- (\sqrt{2}) - 1 (- \sqrt{10})}{4}$

解题步骤 1.12

从 $- (\sqrt{2}) - 1 (- \sqrt{10})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\sin (x) = \frac{- (\sqrt{2} - \sqrt{10})}{4}$

解题步骤 1.13

化简表达式。

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解题步骤 1.13.1

将 $- (\sqrt{2} - \sqrt{10})$ 重写为 $- 1 (\sqrt{2} - \sqrt{10})$ 。

$\sin (x) = \frac{- 1 (\sqrt{2} - \sqrt{10})}{4}$

解题步骤 1.13.2

将负号移到分数的前面。

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{2} - \sqrt{10}}{4}$

解题步骤 2

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x = \arcsin (- \frac{\sqrt{2} - \sqrt{10}}{4})$

解题步骤 3

化简右边。

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解题步骤 3.1

计算 $\arcsin (- \frac{\sqrt{2} - \sqrt{10}}{4})$ 。

$x = 0.45227844$

解题步骤 4

正弦函数在第三和第四象限中为负值。若要求第二个解，可从 $2 π$ 减去这个解，从而求参考角。接着，将该参考角和 $π$ 相加以求第三象限中的解。

$x = 2 (3.14159265) - 0.45227844 + 3.14159265$

解题步骤 5

化简表达式以求第二个解。

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解题步骤 5.1

从 $2 (3.14159265) - 0.45227844 + 3.14159265$ 中减去 $2 π$ 。

$x = 2 (3.14159265) - 0.45227844 + 3.14159265 - 2 π$

解题步骤 5.2

得出的角 $2.6893142$ 是正角度，比 $2 π$ 小，且与 $2 (3.14159265) - 0.45227844 + 3.14159265$ 共边。

$x = 2.6893142$

解题步骤 6

求 $\sin (x)$ 的周期。

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解题步骤 6.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 6.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 6.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 6.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 7

$\sin (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = 0.45227844 + 2 π n, 2.6893142 + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

微积分学 示例

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