微积分学示例

$\frac{1}{{(2 i)}^{3}} \cdot {(e^{i x} - e^{- i x})}^{3}$

解题步骤 1

化简分母。

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解题步骤 1.1

对 $2 i$ 运用乘积法则。

$\frac{1}{2^{3} i^{3}} \cdot {(e^{i x} - e^{- i x})}^{3}$

解题步骤 1.2

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{1}{8 i^{3}} \cdot {(e^{i x} - e^{- i x})}^{3}$

解题步骤 1.3

因式分解出 $i^{2}$ 。

$\frac{1}{8 (i^{2} \cdot i)} \cdot {(e^{i x} - e^{- i x})}^{3}$

解题步骤 1.4

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$\frac{1}{8 (- 1 \cdot i)} \cdot {(e^{i x} - e^{- i x})}^{3}$

解题步骤 1.5

将 $- 1 i$ 重写为 $- i$ 。

$\frac{1}{8 \cdot - 1 i} \cdot {(e^{i x} - e^{- i x})}^{3}$

解题步骤 1.6

合并指数。

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解题步骤 1.6.1

提取负因数。

$\frac{1}{- (8 i)} \cdot {(e^{i x} - e^{- i x})}^{3}$

解题步骤 1.6.2

将 $8$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{- 8 i} \cdot {(e^{i x} - e^{- i x})}^{3}$

解题步骤 2

对 $\frac{1}{- 8 i}$ 的分子和分母乘以 $- 8 i$ 的共轭以使分母变为实数。

$\frac{1}{- 8 i} \cdot \frac{i}{i} \cdot {(e^{i x} - e^{- i x})}^{3}$

解题步骤 3

乘。

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解题步骤 3.1

合并。

$\frac{1 i}{- 8 i i} \cdot {(e^{i x} - e^{- i x})}^{3}$

解题步骤 3.2

将 $i$ 乘以 $1$ 。

$\frac{i}{- 8 i i} \cdot {(e^{i x} - e^{- i x})}^{3}$

解题步骤 3.3

化简分母。

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解题步骤 3.3.1

添加圆括号。

$\frac{i}{- 8 (i i)} \cdot {(e^{i x} - e^{- i x})}^{3}$

解题步骤 3.3.2

对 $i$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{i}{- 8 (i^{1} i)} \cdot {(e^{i x} - e^{- i x})}^{3}$

解题步骤 3.3.3

对 $i$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{i}{- 8 (i^{1} i^{1})} \cdot {(e^{i x} - e^{- i x})}^{3}$

解题步骤 3.3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{i}{- 8 i^{1 + 1}} \cdot {(e^{i x} - e^{- i x})}^{3}$

解题步骤 3.3.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{i}{- 8 i^{2}} \cdot {(e^{i x} - e^{- i x})}^{3}$

解题步骤 3.3.6

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$\frac{i}{- 8 \cdot - 1} \cdot {(e^{i x} - e^{- i x})}^{3}$

解题步骤 4

将 $- 8$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{i}{8} \cdot {(e^{i x} - e^{- i x})}^{3}$

解题步骤 5

使用二项式定理。

$\frac{i}{8} \cdot ({(e^{i x})}^{3} + 3 {(e^{i x})}^{2} (- e^{- i x}) + 3 e^{i x} {(- e^{- i x})}^{2} + {(- e^{- i x})}^{3})$

解题步骤 6

化简项。

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解题步骤 6.1

化简每一项。

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解题步骤 6.1.1

将 ${(e^{i x})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 6.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{i}{8} \cdot (e^{i x \cdot 3} + 3 {(e^{i x})}^{2} (- e^{- i x}) + 3 e^{i x} {(- e^{- i x})}^{2} + {(- e^{- i x})}^{3})$

解题步骤 6.1.1.2

将 $3$ 移到 $i x$ 的左侧。

$\frac{i}{8} \cdot (e^{3 i x} + 3 {(e^{i x})}^{2} (- e^{- i x}) + 3 e^{i x} {(- e^{- i x})}^{2} + {(- e^{- i x})}^{3})$

解题步骤 6.1.2

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{i}{8} \cdot (e^{3 i x} + 3 \cdot - 1 {(e^{i x})}^{2} e^{- i x} + 3 e^{i x} {(- e^{- i x})}^{2} + {(- e^{- i x})}^{3})$

解题步骤 6.1.3

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{i}{8} \cdot (e^{3 i x} - 3 {(e^{i x})}^{2} e^{- i x} + 3 e^{i x} {(- e^{- i x})}^{2} + {(- e^{- i x})}^{3})$

解题步骤 6.1.4

将 ${(e^{i x})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 6.1.4.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{i}{8} \cdot (e^{3 i x} - 3 e^{i x \cdot 2} e^{- i x} + 3 e^{i x} {(- e^{- i x})}^{2} + {(- e^{- i x})}^{3})$

解题步骤 6.1.4.2

将 $2$ 移到 $i x$ 的左侧。

$\frac{i}{8} \cdot (e^{3 i x} - 3 e^{2 i x} e^{- i x} + 3 e^{i x} {(- e^{- i x})}^{2} + {(- e^{- i x})}^{3})$

解题步骤 6.1.5

通过指数相加将 $e^{2 i x}$ 乘以 $e^{- i x}$ 。

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解题步骤 6.1.5.1

移动 $e^{- i x}$ 。

$\frac{i}{8} \cdot (e^{3 i x} - 3 (e^{- i x} e^{2 i x}) + 3 e^{i x} {(- e^{- i x})}^{2} + {(- e^{- i x})}^{3})$

解题步骤 6.1.5.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{i}{8} \cdot (e^{3 i x} - 3 e^{- i x + 2 i x} + 3 e^{i x} {(- e^{- i x})}^{2} + {(- e^{- i x})}^{3})$

解题步骤 6.1.5.3

将 $- i x$ 和 $2 i x$ 相加。

$\frac{i}{8} \cdot (e^{3 i x} - 3 e^{1 i x} + 3 e^{i x} {(- e^{- i x})}^{2} + {(- e^{- i x})}^{3})$

解题步骤 6.1.5.4

将 $i$ 乘以 $1$ 。

$\frac{i}{8} \cdot (e^{3 i x} - 3 e^{i x} + 3 e^{i x} {(- e^{- i x})}^{2} + {(- e^{- i x})}^{3})$

解题步骤 6.1.6

对 $- e^{- i x}$ 运用乘积法则。

$\frac{i}{8} \cdot (e^{3 i x} - 3 e^{i x} + 3 e^{i x} ({(- 1)}^{2} {(e^{- i x})}^{2}) + {(- e^{- i x})}^{3})$

解题步骤 6.1.7

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{i}{8} \cdot (e^{3 i x} - 3 e^{i x} + 3 \cdot {(- 1)}^{2} e^{i x} {(e^{- i x})}^{2} + {(- e^{- i x})}^{3})$

解题步骤 6.1.8

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{i}{8} \cdot (e^{3 i x} - 3 e^{i x} + 3 \cdot 1 e^{i x} {(e^{- i x})}^{2} + {(- e^{- i x})}^{3})$

解题步骤 6.1.9

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{i}{8} \cdot (e^{3 i x} - 3 e^{i x} + 3 e^{i x} {(e^{- i x})}^{2} + {(- e^{- i x})}^{3})$

解题步骤 6.1.10

将 ${(e^{- i x})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 6.1.10.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{i}{8} \cdot (e^{3 i x} - 3 e^{i x} + 3 e^{i x} e^{- i x \cdot 2} + {(- e^{- i x})}^{3})$

解题步骤 6.1.10.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{i}{8} \cdot (e^{3 i x} - 3 e^{i x} + 3 e^{i x} e^{- 2 i x} + {(- e^{- i x})}^{3})$

解题步骤 6.1.11

通过指数相加将 $e^{i x}$ 乘以 $e^{- 2 i x}$ 。

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解题步骤 6.1.11.1

移动 $e^{- 2 i x}$ 。

$\frac{i}{8} \cdot (e^{3 i x} - 3 e^{i x} + 3 (e^{- 2 i x} e^{i x}) + {(- e^{- i x})}^{3})$

解题步骤 6.1.11.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{i}{8} \cdot (e^{3 i x} - 3 e^{i x} + 3 e^{- 2 i x + i x} + {(- e^{- i x})}^{3})$

解题步骤 6.1.11.3

将 $- 2 i x$ 和 $i x$ 相加。

$\frac{i}{8} \cdot (e^{3 i x} - 3 e^{i x} + 3 e^{- i x} + {(- e^{- i x})}^{3})$

解题步骤 6.1.12

对 $- e^{- i x}$ 运用乘积法则。

$\frac{i}{8} \cdot (e^{3 i x} - 3 e^{i x} + 3 e^{- i x} + {(- 1)}^{3} {(e^{- i x})}^{3})$

解题步骤 6.1.13

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{i}{8} \cdot (e^{3 i x} - 3 e^{i x} + 3 e^{- i x} - {(e^{- i x})}^{3})$

解题步骤 6.1.14

将 ${(e^{- i x})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 6.1.14.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{i}{8} \cdot (e^{3 i x} - 3 e^{i x} + 3 e^{- i x} - e^{- i x \cdot 3})$

解题步骤 6.1.14.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{i}{8} \cdot (e^{3 i x} - 3 e^{i x} + 3 e^{- i x} - e^{- 3 i x})$

解题步骤 6.2

运用分配律。

$\frac{i}{8} e^{3 i x} + \frac{i}{8} (- 3 e^{i x}) + \frac{i}{8} (3 e^{- i x}) + \frac{i}{8} (- e^{- 3 i x})$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

组合 $\frac{i}{8}$ 和 $e^{3 i x}$ 。

$\frac{i e^{3 i x}}{8} + \frac{i}{8} (- 3 e^{i x}) + \frac{i}{8} (3 e^{- i x}) + \frac{i}{8} (- e^{- 3 i x})$

解题步骤 7.2

乘以 $\frac{i}{8} (- 3 e^{i x})$ 。

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解题步骤 7.2.1

组合 $- 3$ 和 $\frac{i}{8}$ 。

$\frac{i e^{3 i x}}{8} + \frac{- 3 i}{8} e^{i x} + \frac{i}{8} (3 e^{- i x}) + \frac{i}{8} (- e^{- 3 i x})$

解题步骤 7.2.2

组合 $\frac{- 3 i}{8}$ 和 $e^{i x}$ 。

$\frac{i e^{3 i x}}{8} + \frac{- 3 i e^{i x}}{8} + \frac{i}{8} (3 e^{- i x}) + \frac{i}{8} (- e^{- 3 i x})$

解题步骤 7.3

乘以 $\frac{i}{8} (3 e^{- i x})$ 。

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解题步骤 7.3.1

组合 $3$ 和 $\frac{i}{8}$ 。

$\frac{i e^{3 i x}}{8} + \frac{- 3 i e^{i x}}{8} + \frac{3 i}{8} e^{- i x} + \frac{i}{8} (- e^{- 3 i x})$

解题步骤 7.3.2

组合 $\frac{3 i}{8}$ 和 $e^{- i x}$ 。

$\frac{i e^{3 i x}}{8} + \frac{- 3 i e^{i x}}{8} + \frac{3 i e^{- i x}}{8} + \frac{i}{8} (- e^{- 3 i x})$

解题步骤 7.4

组合 $\frac{i}{8}$ 和 $e^{- 3 i x}$ 。

$\frac{i e^{3 i x}}{8} + \frac{- 3 i e^{i x}}{8} + \frac{3 i e^{- i x}}{8} - \frac{i e^{- 3 i x}}{8}$

解题步骤 8

将负号移到分数的前面。

$\frac{i e^{3 i x}}{8} - \frac{3 i e^{i x}}{8} + \frac{3 i e^{- i x}}{8} - \frac{i e^{- 3 i x}}{8}$

解题步骤 9

移动 $i$ 。

$\frac{i e^{3 x i}}{8} - \frac{3 i e^{i x}}{8} + \frac{3 i e^{- i x}}{8} - \frac{i e^{- 3 i x}}{8}$

解题步骤 10

将 $i$ 和 $e^{3 x i}$ 重新排序。

$\frac{e^{3 x i} i}{8} - \frac{3 i e^{i x}}{8} + \frac{3 i e^{- i x}}{8} - \frac{i e^{- 3 i x}}{8}$

解题步骤 11

将 $i$ 和 $x$ 重新排序。

$\frac{e^{3 x i} i}{8} - \frac{3 i e^{x i}}{8} + \frac{3 i e^{- i x}}{8} - \frac{i e^{- 3 i x}}{8}$

解题步骤 12

移动 $i$ 。

$\frac{e^{3 x i} i}{8} - \frac{3 e^{x i} i}{8} + \frac{3 i e^{- i x}}{8} - \frac{i e^{- 3 i x}}{8}$

解题步骤 13

移动 $i$ 。

$\frac{e^{3 x i} i}{8} - \frac{3 e^{x i} i}{8} + \frac{3 i e^{- 1 x i}}{8} - \frac{i e^{- 3 i x}}{8}$

解题步骤 14

移动 $i$ 。

$\frac{e^{3 x i} i}{8} - \frac{3 e^{x i} i}{8} + \frac{3 e^{- 1 x i} i}{8} - \frac{i e^{- 3 i x}}{8}$

解题步骤 15

移动 $i$ 。

$\frac{e^{3 x i} i}{8} - \frac{3 e^{x i} i}{8} + \frac{3 e^{- 1 x i} i}{8} - \frac{i e^{- 3 x i}}{8}$

解题步骤 16

将 $i$ 和 $e^{- 3 x i}$ 重新排序。

$\frac{e^{3 x i} i}{8} - \frac{3 e^{x i} i}{8} + \frac{3 e^{- 1 x i} i}{8} - \frac{e^{- 3 x i} i}{8}$

解题步骤 17

将 $e^{3 x i} i$ 中的因式重新排序。

$\frac{i e^{3 x i}}{8} - \frac{3 e^{x i} i}{8} + \frac{3 e^{- 1 x i} i}{8} - \frac{e^{- 3 x i} i}{8}$

解题步骤 18

将 $3 e^{x i} i$ 中的因式重新排序。

$\frac{i e^{3 x i}}{8} - \frac{3 i e^{x i}}{8} + \frac{3 e^{- 1 x i} i}{8} - \frac{e^{- 3 x i} i}{8}$

解题步骤 19

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$\frac{i e^{3 x i}}{8} - \frac{3 i e^{x i}}{8} + \frac{3 e^{- x i} i}{8} - \frac{e^{- 3 x i} i}{8}$

解题步骤 20

将 $3 e^{- x i} i$ 中的因式重新排序。

$\frac{i e^{3 x i}}{8} - \frac{3 i e^{x i}}{8} + \frac{3 i e^{- x i}}{8} - \frac{e^{- 3 x i} i}{8}$

解题步骤 21

将 $e^{- 3 x i} i$ 中的因式重新排序。

$\frac{i e^{3 x i}}{8} - \frac{3 i e^{x i}}{8} + \frac{3 i e^{- x i}}{8} - \frac{i e^{- 3 x i}}{8}$

微积分学 示例

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