微积分学示例

$\frac{e - e^{- 1}}{e + e^{- 1}}$

解题步骤 1

化简分子。

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解题步骤 1.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{e - \frac{1}{e}}{e + e^{- 1}}$

解题步骤 1.2

要将 $e$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{e}{e}$ 。

$\frac{\frac{e e}{e} - \frac{1}{e}}{e + e^{- 1}}$

解题步骤 1.3

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{e e - 1}{e}}{e + e^{- 1}}$

解题步骤 1.4

以因式分解的形式重写 $\frac{e e - 1}{e}$ 。

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解题步骤 1.4.1

乘以 $e e$ 。

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解题步骤 1.4.1.1

对 $e$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\frac{e^{1} e - 1}{e}}{e + e^{- 1}}$

解题步骤 1.4.1.2

对 $e$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\frac{e^{1} e^{1} - 1}{e}}{e + e^{- 1}}$

解题步骤 1.4.1.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\frac{e^{1 + 1} - 1}{e}}{e + e^{- 1}}$

解题步骤 1.4.1.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\frac{e^{2} - 1}{e}}{e + e^{- 1}}$

解题步骤 1.4.2

以因式分解的形式重写 $e^{2} - 1$ 。

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解题步骤 1.4.2.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{\frac{e^{2} - 1^{2}}{e}}{e + e^{- 1}}$

解题步骤 1.4.2.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = e$ 和 $b = 1$ 。

$\frac{\frac{(e + 1) (e - 1)}{e}}{e + e^{- 1}}$

解题步骤 2

化简分母。

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解题步骤 2.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{\frac{(e + 1) (e - 1)}{e}}{e + \frac{1}{e}}$

解题步骤 2.2

要将 $e$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{e}{e}$ 。

$\frac{\frac{(e + 1) (e - 1)}{e}}{\frac{e e}{e} + \frac{1}{e}}$

解题步骤 2.3

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{(e + 1) (e - 1)}{e}}{\frac{e e + 1}{e}}$

解题步骤 2.4

乘以 $e e$ 。

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解题步骤 2.4.1

对 $e$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\frac{(e + 1) (e - 1)}{e}}{\frac{e^{1} e + 1}{e}}$

解题步骤 2.4.2

对 $e$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\frac{(e + 1) (e - 1)}{e}}{\frac{e^{1} e^{1} + 1}{e}}$

解题步骤 2.4.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\frac{(e + 1) (e - 1)}{e}}{\frac{e^{1 + 1} + 1}{e}}$

解题步骤 2.4.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\frac{(e + 1) (e - 1)}{e}}{\frac{e^{2} + 1}{e}}$

解题步骤 3

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{(e + 1) (e - 1)}{e} \cdot \frac{e}{e^{2} + 1}$

解题步骤 4

约去 $e$ 的公因数。

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解题步骤 4.1

约去公因数。

$\frac{(e + 1) (e - 1)}{e} \cdot \frac{e}{e^{2} + 1}$

解题步骤 4.2

重写表达式。

$(e + 1) (e - 1) \frac{1}{e^{2} + 1}$

解题步骤 5

使用 FOIL 方法展开 $(e + 1) (e - 1)$ 。

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解题步骤 5.1

运用分配律。

$(e (e - 1) + 1 (e - 1)) \frac{1}{e^{2} + 1}$

解题步骤 5.2

运用分配律。

$(e e + e \cdot - 1 + 1 (e - 1)) \frac{1}{e^{2} + 1}$

解题步骤 5.3

运用分配律。

$(e e + e \cdot - 1 + 1 e + 1 \cdot - 1) \frac{1}{e^{2} + 1}$

解题步骤 6

化简并合并同类项。

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解题步骤 6.1

化简每一项。

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解题步骤 6.1.1

乘以 $e e$ 。

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解题步骤 6.1.1.1

对 $e$ 进行 $1$ 次方运算。

$(e^{1} e + e \cdot - 1 + 1 e + 1 \cdot - 1) \frac{1}{e^{2} + 1}$

解题步骤 6.1.1.2

对 $e$ 进行 $1$ 次方运算。

$(e^{1} e^{1} + e \cdot - 1 + 1 e + 1 \cdot - 1) \frac{1}{e^{2} + 1}$

解题步骤 6.1.1.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$(e^{1 + 1} + e \cdot - 1 + 1 e + 1 \cdot - 1) \frac{1}{e^{2} + 1}$

解题步骤 6.1.1.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$(e^{2} + e \cdot - 1 + 1 e + 1 \cdot - 1) \frac{1}{e^{2} + 1}$

解题步骤 6.1.2

将 $- 1$ 移到 $e$ 的左侧。

$(e^{2} - 1 \cdot e + 1 e + 1 \cdot - 1) \frac{1}{e^{2} + 1}$

解题步骤 6.1.3

将 $- 1 e$ 重写为 $- e$ 。

$(e^{2} - e + 1 e + 1 \cdot - 1) \frac{1}{e^{2} + 1}$

解题步骤 6.1.4

将 $e$ 乘以 $1$ 。

$(e^{2} - e + e + 1 \cdot - 1) \frac{1}{e^{2} + 1}$

解题步骤 6.1.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$(e^{2} - e + e - 1) \frac{1}{e^{2} + 1}$

解题步骤 6.2

将 $- e$ 和 $e$ 相加。

$(e^{2} + 0 - 1) \frac{1}{e^{2} + 1}$

解题步骤 6.3

将 $e^{2}$ 和 $0$ 相加。

$(e^{2} - 1) \frac{1}{e^{2} + 1}$

解题步骤 7

化简项。

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解题步骤 7.1

运用分配律。

$e^{2} \frac{1}{e^{2} + 1} - 1 \frac{1}{e^{2} + 1}$

解题步骤 7.2

组合 $e^{2}$ 和 $\frac{1}{e^{2} + 1}$ 。

$\frac{e^{2}}{e^{2} + 1} - 1 \frac{1}{e^{2} + 1}$

解题步骤 7.3

化简表达式。

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解题步骤 7.3.1

将 $- 1 \frac{1}{e^{2} + 1}$ 重写为 $- \frac{1}{e^{2} + 1}$ 。

$\frac{e^{2}}{e^{2} + 1} - \frac{1}{e^{2} + 1}$

解题步骤 7.3.2

在公分母上合并分子。

$\frac{e^{2} - 1}{e^{2} + 1}$

解题步骤 8

化简分子。

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解题步骤 8.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{e^{2} - 1^{2}}{e^{2} + 1}$

解题步骤 8.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = e$ 和 $b = 1$ 。

$\frac{(e + 1) (e - 1)}{e^{2} + 1}$

解题步骤 9

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{(e + 1) (e - 1)}{e^{2} + 1}$

小数形式：

$0.76159415 \dots$

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