微积分学示例

$(\frac{1}{\sqrt{t + h}}) - (\frac{1}{\sqrt{t}})$

解题步骤 1

化简每一项。

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解题步骤 1.1

将 $\frac{1}{\sqrt{t + h}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{t + h}}{\sqrt{t + h}}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{t + h}} \cdot \frac{\sqrt{t + h}}{\sqrt{t + h}} - (\frac{1}{\sqrt{t}})$

解题步骤 1.2

合并和化简分母。

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解题步骤 1.2.1

将 $\frac{1}{\sqrt{t + h}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{t + h}}{\sqrt{t + h}}$ 。

$\frac{\sqrt{t + h}}{\sqrt{t + h} \sqrt{t + h}} - (\frac{1}{\sqrt{t}})$

解题步骤 1.2.2

对 $\sqrt{t + h}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{t + h}}{{\sqrt{t + h}}^{1} \sqrt{t + h}} - (\frac{1}{\sqrt{t}})$

解题步骤 1.2.3

对 $\sqrt{t + h}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{t + h}}{{\sqrt{t + h}}^{1} {\sqrt{t + h}}^{1}} - (\frac{1}{\sqrt{t}})$

解题步骤 1.2.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\sqrt{t + h}}{{\sqrt{t + h}}^{1 + 1}} - (\frac{1}{\sqrt{t}})$

解题步骤 1.2.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\sqrt{t + h}}{{\sqrt{t + h}}^{2}} - (\frac{1}{\sqrt{t}})$

解题步骤 1.2.6

将 ${\sqrt{t + h}}^{2}$ 重写为 $t + h$ 。

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解题步骤 1.2.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{t + h}$ 重写成 ${(t + h)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{\sqrt{t + h}}{{({(t + h)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} - (\frac{1}{\sqrt{t}})$

解题步骤 1.2.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{\sqrt{t + h}}{{(t + h)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} - (\frac{1}{\sqrt{t}})$

解题步骤 1.2.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{\sqrt{t + h}}{{(t + h)}^{\frac{2}{2}}} - (\frac{1}{\sqrt{t}})$

解题步骤 1.2.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.6.4.1

约去公因数。

$\frac{\sqrt{t + h}}{{(t + h)}^{\frac{2}{2}}} - (\frac{1}{\sqrt{t}})$

解题步骤 1.2.6.4.2

重写表达式。

$\frac{\sqrt{t + h}}{{(t + h)}^{1}} - (\frac{1}{\sqrt{t}})$

解题步骤 1.2.6.5

化简。

$\frac{\sqrt{t + h}}{t + h} - (\frac{1}{\sqrt{t}})$

解题步骤 1.3

将 $\frac{1}{\sqrt{t}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{t}}{\sqrt{t}}$ 。

$\frac{\sqrt{t + h}}{t + h} - (\frac{1}{\sqrt{t}} \cdot \frac{\sqrt{t}}{\sqrt{t}})$

解题步骤 1.4

合并和化简分母。

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解题步骤 1.4.1

将 $\frac{1}{\sqrt{t}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{t}}{\sqrt{t}}$ 。

$\frac{\sqrt{t + h}}{t + h} - \frac{\sqrt{t}}{\sqrt{t} \sqrt{t}}$

解题步骤 1.4.2

对 $\sqrt{t}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{t + h}}{t + h} - \frac{\sqrt{t}}{{\sqrt{t}}^{1} \sqrt{t}}$

解题步骤 1.4.3

对 $\sqrt{t}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{t + h}}{t + h} - \frac{\sqrt{t}}{{\sqrt{t}}^{1} {\sqrt{t}}^{1}}$

解题步骤 1.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\sqrt{t + h}}{t + h} - \frac{\sqrt{t}}{{\sqrt{t}}^{1 + 1}}$

解题步骤 1.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\sqrt{t + h}}{t + h} - \frac{\sqrt{t}}{{\sqrt{t}}^{2}}$

解题步骤 1.4.6

将 ${\sqrt{t}}^{2}$ 重写为 $t$ 。

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解题步骤 1.4.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{t}$ 重写成 $t^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{\sqrt{t + h}}{t + h} - \frac{\sqrt{t}}{{(t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.4.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{\sqrt{t + h}}{t + h} - \frac{\sqrt{t}}{t^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 1.4.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{\sqrt{t + h}}{t + h} - \frac{\sqrt{t}}{t^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 1.4.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.6.4.1

约去公因数。

$\frac{\sqrt{t + h}}{t + h} - \frac{\sqrt{t}}{t^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 1.4.6.4.2

重写表达式。

$\frac{\sqrt{t + h}}{t + h} - \frac{\sqrt{t}}{t^{1}}$

解题步骤 1.4.6.5

化简。

$\frac{\sqrt{t + h}}{t + h} - \frac{\sqrt{t}}{t}$

解题步骤 2

要将 $\frac{\sqrt{t + h}}{t + h}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{t}{t}$ 。

$\frac{\sqrt{t + h}}{t + h} \cdot \frac{t}{t} - \frac{\sqrt{t}}{t}$

解题步骤 3

要将 $- \frac{\sqrt{t}}{t}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{t + h}{t + h}$ 。

$\frac{\sqrt{t + h}}{t + h} \cdot \frac{t}{t} - \frac{\sqrt{t}}{t} \cdot \frac{t + h}{t + h}$

解题步骤 4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(t + h) t$ 的形式。

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解题步骤 4.1

将 $\frac{\sqrt{t + h}}{t + h}$ 乘以 $\frac{t}{t}$ 。

$\frac{\sqrt{t + h} t}{(t + h) t} - \frac{\sqrt{t}}{t} \cdot \frac{t + h}{t + h}$

解题步骤 4.2

将 $\frac{\sqrt{t}}{t}$ 乘以 $\frac{t + h}{t + h}$ 。

$\frac{\sqrt{t + h} t}{(t + h) t} - \frac{\sqrt{t} (t + h)}{t (t + h)}$

解题步骤 4.3

重新排序 $(t + h) t$ 的因式。

$\frac{\sqrt{t + h} t}{t (t + h)} - \frac{\sqrt{t} (t + h)}{t (t + h)}$

解题步骤 5

在公分母上合并分子。

$\frac{\sqrt{t + h} t - \sqrt{t} (t + h)}{t (t + h)}$

解题步骤 6

化简分子。

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解题步骤 6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{t + h}$ 重写成 ${(t + h)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{{(t + h)}^{\frac{1}{2}} t - \sqrt{t} (t + h)}{t (t + h)}$

解题步骤 6.2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{t}$ 重写成 $t^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{{(t + h)}^{\frac{1}{2}} t - t^{\frac{1}{2}} (t + h)}{t (t + h)}$

解题步骤 6.3

运用分配律。

$\frac{{(t + h)}^{\frac{1}{2}} t - t^{\frac{1}{2}} t - t^{\frac{1}{2}} h}{t (t + h)}$

解题步骤 6.4

通过指数相加将 $t^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $t$ 。

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解题步骤 6.4.1

移动 $t$ 。

$\frac{{(t + h)}^{\frac{1}{2}} t - (t \cdot t^{\frac{1}{2}}) - t^{\frac{1}{2}} h}{t (t + h)}$

解题步骤 6.4.2

将 $t$ 乘以 $t^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 6.4.2.1

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{{(t + h)}^{\frac{1}{2}} t - (t^{1} t^{\frac{1}{2}}) - t^{\frac{1}{2}} h}{t (t + h)}$

解题步骤 6.4.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{{(t + h)}^{\frac{1}{2}} t - t^{1 + \frac{1}{2}} - t^{\frac{1}{2}} h}{t (t + h)}$

解题步骤 6.4.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{{(t + h)}^{\frac{1}{2}} t - t^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} - t^{\frac{1}{2}} h}{t (t + h)}$

解题步骤 6.4.4

在公分母上合并分子。

$\frac{{(t + h)}^{\frac{1}{2}} t - t^{\frac{2 + 1}{2}} - t^{\frac{1}{2}} h}{t (t + h)}$

解题步骤 6.4.5

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{{(t + h)}^{\frac{1}{2}} t - t^{\frac{3}{2}} - t^{\frac{1}{2}} h}{t (t + h)}$

解题步骤 6.5

以因式分解的形式重写 ${(t + h)}^{\frac{1}{2}} t - t^{\frac{3}{2}} - t^{\frac{1}{2}} h$ 。

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解题步骤 6.5.1

从 ${(t + h)}^{\frac{1}{2}} t - t^{\frac{3}{2}} - t^{\frac{1}{2}} h$ 中分解出因数 $t^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 6.5.1.1

将表达式重新排序。

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解题步骤 6.5.1.1.1

将 $t$ 和 $h$ 重新排序。

$\frac{{(h + t)}^{\frac{1}{2}} t - t^{\frac{3}{2}} - t^{\frac{1}{2}} h}{t (t + h)}$

解题步骤 6.5.1.1.2

将 ${(h + t)}^{\frac{1}{2}}$ 和 $t$ 重新排序。

$\frac{t {(h + t)}^{\frac{1}{2}} - t^{\frac{3}{2}} - t^{\frac{1}{2}} h}{t (t + h)}$

解题步骤 6.5.1.1.3

移动 $t^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{t {(h + t)}^{\frac{1}{2}} - t^{\frac{3}{2}} - h t^{\frac{1}{2}}}{t (t + h)}$

解题步骤 6.5.1.2

从 $t {(h + t)}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $t^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{t^{\frac{1}{2}} (t^{\frac{1}{2}} {(h + t)}^{\frac{1}{2}}) - t^{\frac{3}{2}} - h t^{\frac{1}{2}}}{t (t + h)}$

解题步骤 6.5.1.3

从 $- t^{\frac{3}{2}}$ 中分解出因数 $t^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{t^{\frac{1}{2}} (t^{\frac{1}{2}} {(h + t)}^{\frac{1}{2}}) + t^{\frac{1}{2}} (- t^{\frac{2}{2}}) - h t^{\frac{1}{2}}}{t (t + h)}$

解题步骤 6.5.1.4

从 $- h t^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $t^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{t^{\frac{1}{2}} (t^{\frac{1}{2}} {(h + t)}^{\frac{1}{2}}) + t^{\frac{1}{2}} (- t^{\frac{2}{2}}) + t^{\frac{1}{2}} (- h)}{t (t + h)}$

解题步骤 6.5.1.5

从 $t^{\frac{1}{2}} (t^{\frac{1}{2}} {(h + t)}^{\frac{1}{2}}) + t^{\frac{1}{2}} (- t^{\frac{2}{2}})$ 中分解出因数 $t^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{t^{\frac{1}{2}} (t^{\frac{1}{2}} {(h + t)}^{\frac{1}{2}} - t^{\frac{2}{2}}) + t^{\frac{1}{2}} (- h)}{t (t + h)}$

解题步骤 6.5.1.6

从 $t^{\frac{1}{2}} (t^{\frac{1}{2}} {(h + t)}^{\frac{1}{2}} - t^{\frac{2}{2}}) + t^{\frac{1}{2}} (- h)$ 中分解出因数 $t^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{t^{\frac{1}{2}} (t^{\frac{1}{2}} {(h + t)}^{\frac{1}{2}} - t^{\frac{2}{2}} - h)}{t (t + h)}$

解题步骤 6.5.2

用 $2$ 除以 $2$ 。

$\frac{t^{\frac{1}{2}} (t^{\frac{1}{2}} {(h + t)}^{\frac{1}{2}} - t^{1} - h)}{t (t + h)}$

解题步骤 6.5.3

化简。

$\frac{t^{\frac{1}{2}} (t^{\frac{1}{2}} {(h + t)}^{\frac{1}{2}} - t - h)}{t (t + h)}$

解题步骤 7

使用负指数规则 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 将 $t^{\frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{t^{\frac{1}{2}} {(h + t)}^{\frac{1}{2}} - t - h}{t (t + h) t^{- \frac{1}{2}}}$

解题步骤 8

通过指数相加将 $t$ 乘以 $t^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 8.1

移动 $t^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{t^{\frac{1}{2}} {(h + t)}^{\frac{1}{2}} - t - h}{t^{- \frac{1}{2}} t (t + h)}$

解题步骤 8.2

将 $t^{- \frac{1}{2}}$ 乘以 $t$ 。

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解题步骤 8.2.1

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{t^{\frac{1}{2}} {(h + t)}^{\frac{1}{2}} - t - h}{t^{- \frac{1}{2}} t^{1} (t + h)}$

解题步骤 8.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{t^{\frac{1}{2}} {(h + t)}^{\frac{1}{2}} - t - h}{t^{- \frac{1}{2} + 1} (t + h)}$

解题步骤 8.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{t^{\frac{1}{2}} {(h + t)}^{\frac{1}{2}} - t - h}{t^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} (t + h)}$

解题步骤 8.4

在公分母上合并分子。

$\frac{t^{\frac{1}{2}} {(h + t)}^{\frac{1}{2}} - t - h}{t^{\frac{- 1 + 2}{2}} (t + h)}$

解题步骤 8.5

将 $- 1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{t^{\frac{1}{2}} {(h + t)}^{\frac{1}{2}} - t - h}{t^{\frac{1}{2}} (t + h)}$

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