微积分学示例

$3 y^{3} + (1) y - y = 375 {(1)}^{4}$

解题步骤 1

化简 $3 y^{3} + 1 y - y$ 。

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解题步骤 1.1

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$3 y^{3} + y - y = 375 \cdot 1^{4}$

解题步骤 1.2

合并 $3 y^{3} + y - y$ 中相反的项。

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解题步骤 1.2.1

从 $y$ 中减去 $y$ 。

$3 y^{3} + 0 = 375 \cdot 1^{4}$

解题步骤 1.2.2

将 $3 y^{3}$ 和 $0$ 相加。

$3 y^{3} = 375 \cdot 1^{4}$

解题步骤 2

化简 $375 \cdot 1^{4}$ 。

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解题步骤 2.1

一的任意次幂都为一。

$3 y^{3} = 375 \cdot 1$

解题步骤 2.2

将 $375$ 乘以 $1$ 。

$3 y^{3} = 375$

解题步骤 3

从等式两边同时减去 $375$ 。

$3 y^{3} - 375 = 0$

解题步骤 4

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 4.1

从 $3 y^{3} - 375$ 中分解出因数 $3$ 。

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解题步骤 4.1.1

从 $3 y^{3}$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (y^{3}) - 375 = 0$

解题步骤 4.1.2

从 $- 375$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 y^{3} + 3 \cdot - 125 = 0$

解题步骤 4.1.3

从 $3 y^{3} + 3 \cdot - 125$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (y^{3} - 125) = 0$

解题步骤 4.2

将 $125$ 重写为 $5^{3}$ 。

$3 (y^{3} - 5^{3}) = 0$

解题步骤 4.3

因为两项都是完全立方数，所以使用立方差公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = y$ 和 $b = 5$ 。

$3 ((y - 5) (y^{2} + y \cdot 5 + 5^{2})) = 0$

解题步骤 4.4

因数。

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解题步骤 4.4.1

化简。

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解题步骤 4.4.1.1

将 $5$ 移到 $y$ 的左侧。

$3 ((y - 5) (y^{2} + 5 y + 5^{2})) = 0$

解题步骤 4.4.1.2

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$3 ((y - 5) (y^{2} + 5 y + 25)) = 0$

解题步骤 4.4.2

去掉多余的括号。

$3 (y - 5) (y^{2} + 5 y + 25) = 0$

解题步骤 5

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$y - 5 = 0$

$y^{2} + 5 y + 25 = 0$

解题步骤 6

将 $y - 5$ 设为等于 $0$ 并求解 $y$ 。

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解题步骤 6.1

将 $y - 5$ 设为等于 $0$ 。

$y - 5 = 0$

解题步骤 6.2

在等式两边都加上 $5$ 。

$y = 5$

解题步骤 7

将 $y^{2} + 5 y + 25$ 设为等于 $0$ 并求解 $y$ 。

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解题步骤 7.1

将 $y^{2} + 5 y + 25$ 设为等于 $0$ 。

$y^{2} + 5 y + 25 = 0$

解题步骤 7.2

求解 $y$ 的 $y^{2} + 5 y + 25 = 0$ 。

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解题步骤 7.2.1

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 7.2.2

将 $a = 1$ 、 $b = 5$ 和 $c = 25$ 的值代入二次公式中并求解 $y$ 。

$\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 25)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.2.3

化简。

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解题步骤 7.2.3.1

化简分子。

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解题步骤 7.2.3.1.1

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.2.3.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 25$ 。

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解题步骤 7.2.3.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.2.3.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $25$ 。

$y = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 100}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.2.3.1.3

从 $25$ 中减去 $100$ 。

$y = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 75}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.2.3.1.4

将 $- 75$ 重写为 $- 1 (75)$ 。

$y = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 75}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.2.3.1.5

将 $\sqrt{- 1 (75)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}$ 。

$y = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.2.3.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$y = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.2.3.1.7

将 $75$ 重写为 $5^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 7.2.3.1.7.1

从 $75$ 中分解出因数 $25$ 。

$y = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{25 (3)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.2.3.1.7.2

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$y = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{5^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.2.3.1.8

从根式下提出各项。

$y = \frac{- 5 \pm i \cdot (5 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.2.3.1.9

将 $5$ 移到 $i$ 的左侧。

$y = \frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.2.3.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 7.2.4

最终答案为两个解的组合。

$y = - \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 8

最终解为使 $3 (y - 5) (y^{2} + 5 y + 25) = 0$ 成立的所有值。

$y = 5, - \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{2}$

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