微积分学示例

$3 x^{5} - 9 x^{4} - 28 x^{3} + 84 x^{2} + 9 x - 27 = 0$

解题步骤 1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 1.1

重新组合项。

$3 x^{5} - 28 x^{3} + 9 x - 9 x^{4} + 84 x^{2} - 27 = 0$

解题步骤 1.2

从 $3 x^{5} - 28 x^{3} + 9 x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 1.2.1

从 $3 x^{5}$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (3 x^{4}) - 28 x^{3} + 9 x - 9 x^{4} + 84 x^{2} - 27 = 0$

解题步骤 1.2.2

从 $- 28 x^{3}$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (3 x^{4}) + x (- 28 x^{2}) + 9 x - 9 x^{4} + 84 x^{2} - 27 = 0$

解题步骤 1.2.3

从 $9 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (3 x^{4}) + x (- 28 x^{2}) + x \cdot 9 - 9 x^{4} + 84 x^{2} - 27 = 0$

解题步骤 1.2.4

从 $x (3 x^{4}) + x (- 28 x^{2})$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (3 x^{4} - 28 x^{2}) + x \cdot 9 - 9 x^{4} + 84 x^{2} - 27 = 0$

解题步骤 1.2.5

从 $x (3 x^{4} - 28 x^{2}) + x \cdot 9$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (3 x^{4} - 28 x^{2} + 9) - 9 x^{4} + 84 x^{2} - 27 = 0$

解题步骤 1.3

将 $x^{4}$ 重写为 ${(x^{2})}^{2}$ 。

$x (3 {(x^{2})}^{2} - 28 x^{2} + 9) - 9 x^{4} + 84 x^{2} - 27 = 0$

解题步骤 1.4

使 $u = x^{2}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x^{2}$ 。

$x (3 u^{2} - 28 u + 9) - 9 x^{4} + 84 x^{2} - 27 = 0$

解题步骤 1.5

分组因式分解。

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解题步骤 1.5.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 3 \cdot 9 = 27$ 并且它们的和为 $b = - 28$ 。

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解题步骤 1.5.1.1

从 $- 28 u$ 中分解出因数 $- 28$ 。

$x (3 u^{2} - 28 u + 9) - 9 x^{4} + 84 x^{2} - 27 = 0$

解题步骤 1.5.1.2

把 $- 28$ 重写为 $- 1$ 加 $- 27$

$x (3 u^{2} + (- 1 - 27) u + 9) - 9 x^{4} + 84 x^{2} - 27 = 0$

解题步骤 1.5.1.3

运用分配律。

$x (3 u^{2} - 1 u - 27 u + 9) - 9 x^{4} + 84 x^{2} - 27 = 0$

解题步骤 1.5.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 1.5.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$x ((3 u^{2} - 1 u) - 27 u + 9) - 9 x^{4} + 84 x^{2} - 27 = 0$

解题步骤 1.5.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$x (u (3 u - 1) - 9 (3 u - 1)) - 9 x^{4} + 84 x^{2} - 27 = 0$

解题步骤 1.5.3

通过因式分解出最大公因数 $3 u - 1$ 来因式分解多项式。

$x ((3 u - 1) (u - 9)) - 9 x^{4} + 84 x^{2} - 27 = 0$

解题步骤 1.6

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x ((3 x^{2} - 1) (x^{2} - 9)) - 9 x^{4} + 84 x^{2} - 27 = 0$

解题步骤 1.7

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$x ((3 x^{2} - 1) (x^{2} - 3^{2})) - 9 x^{4} + 84 x^{2} - 27 = 0$

解题步骤 1.8

因数。

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解题步骤 1.8.1

因数。

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解题步骤 1.8.1.1

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 3$ 。

$x ((3 x^{2} - 1) ((x + 3) (x - 3))) - 9 x^{4} + 84 x^{2} - 27 = 0$

解题步骤 1.8.1.2

去掉多余的括号。

$x ((3 x^{2} - 1) (x + 3) (x - 3)) - 9 x^{4} + 84 x^{2} - 27 = 0$

解题步骤 1.8.2

去掉多余的括号。

$x (3 x^{2} - 1) (x + 3) (x - 3) - 9 x^{4} + 84 x^{2} - 27 = 0$

解题步骤 1.9

从 $- 9 x^{4} + 84 x^{2} - 27$ 中分解出因数 $3$ 。

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解题步骤 1.9.1

从 $- 9 x^{4}$ 中分解出因数 $3$ 。

$x (3 x^{2} - 1) (x + 3) (x - 3) + 3 (- 3 x^{4}) + 84 x^{2} - 27 = 0$

解题步骤 1.9.2

从 $84 x^{2}$ 中分解出因数 $3$ 。

$x (3 x^{2} - 1) (x + 3) (x - 3) + 3 (- 3 x^{4}) + 3 (28 x^{2}) - 27 = 0$

解题步骤 1.9.3

从 $- 27$ 中分解出因数 $3$ 。

$x (3 x^{2} - 1) (x + 3) (x - 3) + 3 (- 3 x^{4}) + 3 (28 x^{2}) + 3 (- 9) = 0$

解题步骤 1.9.4

从 $3 (- 3 x^{4}) + 3 (28 x^{2})$ 中分解出因数 $3$ 。

$x (3 x^{2} - 1) (x + 3) (x - 3) + 3 (- 3 x^{4} + 28 x^{2}) + 3 (- 9) = 0$

解题步骤 1.9.5

从 $3 (- 3 x^{4} + 28 x^{2}) + 3 (- 9)$ 中分解出因数 $3$ 。

$x (3 x^{2} - 1) (x + 3) (x - 3) + 3 (- 3 x^{4} + 28 x^{2} - 9) = 0$

解题步骤 1.10

将 $x^{4}$ 重写为 ${(x^{2})}^{2}$ 。

$x (3 x^{2} - 1) (x + 3) (x - 3) + 3 (- 3 {(x^{2})}^{2} + 28 x^{2} - 9) = 0$

解题步骤 1.11

使 $u = x^{2}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x^{2}$ 。

$x (3 x^{2} - 1) (x + 3) (x - 3) + 3 (- 3 u^{2} + 28 u - 9) = 0$

解题步骤 1.12

分组因式分解。

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解题步骤 1.12.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = - 3 \cdot - 9 = 27$ 并且它们的和为 $b = 28$ 。

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解题步骤 1.12.1.1

从 $28 u$ 中分解出因数 $28$ 。

$x (3 x^{2} - 1) (x + 3) (x - 3) + 3 (- 3 u^{2} + 28 (u) - 9) = 0$

解题步骤 1.12.1.2

把 $28$ 重写为 $1$ 加 $27$

$x (3 x^{2} - 1) (x + 3) (x - 3) + 3 (- 3 u^{2} + (1 + 27) u - 9) = 0$

解题步骤 1.12.1.3

运用分配律。

$x (3 x^{2} - 1) (x + 3) (x - 3) + 3 (- 3 u^{2} + 1 u + 27 u - 9) = 0$

解题步骤 1.12.1.4

将 $u$ 乘以 $1$ 。

$x (3 x^{2} - 1) (x + 3) (x - 3) + 3 (- 3 u^{2} + u + 27 u - 9) = 0$

解题步骤 1.12.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 1.12.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$x (3 x^{2} - 1) (x + 3) (x - 3) + 3 ((- 3 u^{2} + u) + 27 u - 9) = 0$

解题步骤 1.12.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$x (3 x^{2} - 1) (x + 3) (x - 3) + 3 (u (- 3 u + 1) - 9 (- 3 u + 1)) = 0$

解题步骤 1.12.3

通过因式分解出最大公因数 $- 3 u + 1$ 来因式分解多项式。

$x (3 x^{2} - 1) (x + 3) (x - 3) + 3 ((- 3 u + 1) (u - 9)) = 0$

解题步骤 1.13

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x (3 x^{2} - 1) (x + 3) (x - 3) + 3 ((- 3 x^{2} + 1) (x^{2} - 9)) = 0$

解题步骤 1.14

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$x (3 x^{2} - 1) (x + 3) (x - 3) + 3 ((- 3 x^{2} + 1) (x^{2} - 3^{2})) = 0$

解题步骤 1.15

因数。

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解题步骤 1.15.1

因数。

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解题步骤 1.15.1.1

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 3$ 。

$x (3 x^{2} - 1) (x + 3) (x - 3) + 3 ((- 3 x^{2} + 1) ((x + 3) (x - 3))) = 0$

解题步骤 1.15.1.2

去掉多余的括号。

$x (3 x^{2} - 1) (x + 3) (x - 3) + 3 ((- 3 x^{2} + 1) (x + 3) (x - 3)) = 0$

解题步骤 1.15.2

去掉多余的括号。

$x (3 x^{2} - 1) (x + 3) (x - 3) + 3 (- 3 x^{2} + 1) (x + 3) (x - 3) = 0$

解题步骤 1.16

从 $x (3 x^{2} - 1) (x + 3) (x - 3) + 3 (- 3 x^{2} + 1) (x + 3) (x - 3)$ 中分解出因数 $(x + 3) (x - 3)$ 。

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解题步骤 1.16.1

从 $x (3 x^{2} - 1) (x + 3) (x - 3)$ 中分解出因数 $(x + 3) (x - 3)$ 。

$(x + 3) (x - 3) (x (3 x^{2} - 1)) + 3 (- 3 x^{2} + 1) (x + 3) (x - 3) = 0$

解题步骤 1.16.2

从 $3 (- 3 x^{2} + 1) (x + 3) (x - 3)$ 中分解出因数 $(x + 3) (x - 3)$ 。

$(x + 3) (x - 3) (x (3 x^{2} - 1)) + (x + 3) (x - 3) (3 (- 3 x^{2} + 1)) = 0$

解题步骤 1.16.3

从 $(x + 3) (x - 3) (x (3 x^{2} - 1)) + (x + 3) (x - 3) (3 (- 3 x^{2} + 1))$ 中分解出因数 $(x + 3) (x - 3)$ 。

$(x + 3) (x - 3) (x (3 x^{2} - 1) + 3 (- 3 x^{2} + 1)) = 0$

解题步骤 1.17

运用分配律。

$(x + 3) (x - 3) (x (3 x^{2}) + x \cdot - 1 + 3 (- 3 x^{2} + 1)) = 0$

解题步骤 1.18

使用乘法的交换性质重写。

$(x + 3) (x - 3) (3 x \cdot x^{2} + x \cdot - 1 + 3 (- 3 x^{2} + 1)) = 0$

解题步骤 1.19

将 $- 1$ 移到 $x$ 的左侧。

$(x + 3) (x - 3) (3 x \cdot x^{2} - 1 \cdot x + 3 (- 3 x^{2} + 1)) = 0$

解题步骤 1.20

化简每一项。

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解题步骤 1.20.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.20.1.1

移动 $x^{2}$ 。

$(x + 3) (x - 3) (3 (x^{2} x) - 1 \cdot x + 3 (- 3 x^{2} + 1)) = 0$

解题步骤 1.20.1.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.20.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$(x + 3) (x - 3) (3 (x^{2} x) - 1 \cdot x + 3 (- 3 x^{2} + 1)) = 0$

解题步骤 1.20.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$(x + 3) (x - 3) (3 x^{2 + 1} - 1 \cdot x + 3 (- 3 x^{2} + 1)) = 0$

解题步骤 1.20.1.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$(x + 3) (x - 3) (3 x^{3} - 1 \cdot x + 3 (- 3 x^{2} + 1)) = 0$

$(x + 3) (x - 3) (3 x^{3} - 1 x + 3 (- 3 x^{2} + 1)) = 0$

解题步骤 1.20.2

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$(x + 3) (x - 3) (3 x^{3} - x + 3 (- 3 x^{2} + 1)) = 0$

解题步骤 1.21

运用分配律。

$(x + 3) (x - 3) (3 x^{3} - x + 3 (- 3 x^{2}) + 3 \cdot 1) = 0$

解题步骤 1.22

将 $- 3$ 乘以 $3$ 。

$(x + 3) (x - 3) (3 x^{3} - x - 9 x^{2} + 3 \cdot 1) = 0$

解题步骤 1.23

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$(x + 3) (x - 3) (3 x^{3} - x - 9 x^{2} + 3) = 0$

解题步骤 1.24

重新排序项。

$(x + 3) (x - 3) (3 x^{3} - 9 x^{2} - x + 3) = 0$

解题步骤 1.25

因数。

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解题步骤 1.25.1

以因式分解的形式重写 $3 x^{3} - 9 x^{2} - x + 3$ 。

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解题步骤 1.25.1.1

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 1.25.1.1.1

将首两项和最后两项分成两组。

$(x + 3) (x - 3) ((3 x^{3} - 9 x^{2}) - x + 3) = 0$

解题步骤 1.25.1.1.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$(x + 3) (x - 3) (3 x^{2} (x - 3) - (x - 3)) = 0$

解题步骤 1.25.1.2

通过因式分解出最大公因数 $x - 3$ 来因式分解多项式。

$(x + 3) (x - 3) ((x - 3) (3 x^{2} - 1)) = 0$

解题步骤 1.25.2

去掉多余的括号。

$(x + 3) (x - 3) (x - 3) (3 x^{2} - 1) = 0$

解题步骤 1.26

合并指数。

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解题步骤 1.26.1

对 $x - 3$ 进行 $1$ 次方运算。

$(x + 3) ((x - 3) (x - 3)) (3 x^{2} - 1) = 0$

解题步骤 1.26.2

对 $x - 3$ 进行 $1$ 次方运算。

$(x + 3) ((x - 3) (x - 3)) (3 x^{2} - 1) = 0$

解题步骤 1.26.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$(x + 3) {(x - 3)}^{1 + 1} (3 x^{2} - 1) = 0$

解题步骤 1.26.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$(x + 3) {(x - 3)}^{2} (3 x^{2} - 1) = 0$

解题步骤 2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x + 3 = 0$

${(x - 3)}^{2} = 0$

$3 x^{2} - 1 = 0$

解题步骤 3

将 $x + 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.1

将 $x + 3$ 设为等于 $0$ 。

$x + 3 = 0$

解题步骤 3.2

从等式两边同时减去 $3$ 。

$x = - 3$

解题步骤 4

将 ${(x - 3)}^{2}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.1

将 ${(x - 3)}^{2}$ 设为等于 $0$ 。

${(x - 3)}^{2} = 0$

解题步骤 4.2

求解 $x$ 的 ${(x - 3)}^{2} = 0$ 。

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解题步骤 4.2.1

将 $x - 3$ 设为等于 $0$ 。

$x - 3 = 0$

解题步骤 4.2.2

在等式两边都加上 $3$ 。

$x = 3$

解题步骤 5

将 $3 x^{2} - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.1

将 $3 x^{2} - 1$ 设为等于 $0$ 。

$3 x^{2} - 1 = 0$

解题步骤 5.2

求解 $x$ 的 $3 x^{2} - 1 = 0$ 。

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解题步骤 5.2.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$3 x^{2} = 1$

解题步骤 5.2.2

将 $3 x^{2} = 1$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 5.2.2.1

将 $3 x^{2} = 1$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{1}{3}$

解题步骤 5.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.2.2.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{1}{3}$

解题步骤 5.2.2.2.1.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} = \frac{1}{3}$

解题步骤 5.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{3}}$

解题步骤 5.2.4

化简 $\pm \sqrt{\frac{1}{3}}$ 。

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解题步骤 5.2.4.1

将 $\sqrt{\frac{1}{3}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

解题步骤 5.2.4.2

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

解题步骤 5.2.4.3

将 $\frac{1}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

解题步骤 5.2.4.4

合并和化简分母。

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解题步骤 5.2.4.4.1

将 $\frac{1}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 5.2.4.4.2

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

解题步骤 5.2.4.4.3

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

解题步骤 5.2.4.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

解题步骤 5.2.4.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

解题步骤 5.2.4.4.6

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 5.2.4.4.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 5.2.4.4.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 5.2.4.4.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 5.2.4.4.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.4.4.6.4.1

约去公因数。

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 5.2.4.4.6.4.2

重写表达式。

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

解题步骤 5.2.4.4.6.5

计算指数。

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

解题步骤 5.2.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 5.2.5.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}$

解题步骤 5.2.5.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

解题步骤 5.2.5.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

解题步骤 6

最终解为使 $(x + 3) {(x - 3)}^{2} (3 x^{2} - 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = - 3, 3, \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

解题步骤 7

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$x = - 3, 3, \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

小数形式：

$x = - 3, 3, 0.57735026 \dots, - 0.57735026 \dots$

微积分学 示例

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