微积分学示例

$8 (4^{5 - x}) = 40$

解题步骤 1

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (8 \cdot 4^{5 - x}) = \ln (40)$

解题步骤 2

展开左边。

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解题步骤 2.1

将 $\ln (8 \cdot 4^{5 - x})$ 重写为 $\ln (8) + \ln (4^{5 - x})$ 。

$\ln (8) + \ln (4^{5 - x}) = \ln (40)$

解题步骤 2.2

通过将 $5 - x$ 移到对数外来展开 $\ln (4^{5 - x})$ 。

$\ln (8) + (5 - x) \ln (4) = \ln (40)$

解题步骤 3

化简左边。

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解题步骤 3.1

运用分配律。

$\ln (8) + 5 \ln (4) - x \ln (4) = \ln (40)$

解题步骤 4

化简左边。

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解题步骤 4.1

移动 $5 \ln (4)$ 。

$\ln (8) - x \ln (4) + 5 \ln (4) = \ln (40)$

解题步骤 4.2

将 $\ln (8)$ 和 $- x \ln (4)$ 重新排序。

$- x \ln (4) + \ln (8) + 5 \ln (4) = \ln (40)$

解题步骤 5

将所有包含对数的项移到等式左边。

$- x \ln (4) + \ln (8) + 5 \ln (4) - \ln (40) = 0$

解题步骤 6

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$- x \ln (4) + 5 \ln (4) + \ln (\frac{8}{40}) = 0$

解题步骤 7

约去 $8$ 和 $40$ 的公因数。

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解题步骤 7.1

从 $8$ 中分解出因数 $8$ 。

$- x \ln (4) + 5 \ln (4) + \ln (\frac{8 (1)}{40}) = 0$

解题步骤 7.2

约去公因数。

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解题步骤 7.2.1

从 $40$ 中分解出因数 $8$ 。

$- x \ln (4) + 5 \ln (4) + \ln (\frac{8 \cdot 1}{8 \cdot 5}) = 0$

解题步骤 7.2.2

约去公因数。

$- x \ln (4) + 5 \ln (4) + \ln (\frac{8 \cdot 1}{8 \cdot 5}) = 0$

解题步骤 7.2.3

重写表达式。

$- x \ln (4) + 5 \ln (4) + \ln (\frac{1}{5}) = 0$

解题步骤 8

将所有不包含 $x$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 8.1

从等式两边同时减去 $5 \ln (4)$ 。

$- x \ln (4) + \ln (\frac{1}{5}) = - 5 \ln (4)$

解题步骤 8.2

从等式两边同时减去 $\ln (\frac{1}{5})$ 。

$- x \ln (4) = - 5 \ln (4) - \ln (\frac{1}{5})$

解题步骤 9

将 $- x \ln (4) = - 5 \ln (4) - \ln (\frac{1}{5})$ 中的每一项除以 $- \ln (4)$ 并化简。

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解题步骤 9.1

将 $- x \ln (4) = - 5 \ln (4) - \ln (\frac{1}{5})$ 中的每一项都除以 $- \ln (4)$ 。

$\frac{- x \ln (4)}{- \ln (4)} = \frac{- 5 \ln (4)}{- \ln (4)} + \frac{- \ln (\frac{1}{5})}{- \ln (4)}$

解题步骤 9.2

化简左边。

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解题步骤 9.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x \ln (4)}{\ln (4)} = \frac{- 5 \ln (4)}{- \ln (4)} + \frac{- \ln (\frac{1}{5})}{- \ln (4)}$

解题步骤 9.2.2

约去 $\ln (4)$ 的公因数。

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解题步骤 9.2.2.1

约去公因数。

$\frac{x \ln (4)}{\ln (4)} = \frac{- 5 \ln (4)}{- \ln (4)} + \frac{- \ln (\frac{1}{5})}{- \ln (4)}$

解题步骤 9.2.2.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- 5 \ln (4)}{- \ln (4)} + \frac{- \ln (\frac{1}{5})}{- \ln (4)}$

解题步骤 9.3

化简右边。

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解题步骤 9.3.1

化简每一项。

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解题步骤 9.3.1.1

约去 $\ln (4)$ 的公因数。

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解题步骤 9.3.1.1.1

约去公因数。

$x = \frac{- 5 \ln (4)}{- \ln (4)} + \frac{- \ln (\frac{1}{5})}{- \ln (4)}$

解题步骤 9.3.1.1.2

重写表达式。

$x = \frac{- 5}{- 1} + \frac{- \ln (\frac{1}{5})}{- \ln (4)}$

解题步骤 9.3.1.1.3

移动 $\frac{- 5}{- 1}$ 中分母的负号。

$x = - 1 \cdot - 5 + \frac{- \ln (\frac{1}{5})}{- \ln (4)}$

解题步骤 9.3.1.2

将 $- 1 \cdot - 5$ 重写为 $- - 5$ 。

$x = - - 5 + \frac{- \ln (\frac{1}{5})}{- \ln (4)}$

解题步骤 9.3.1.3

将 $- 1$ 乘以 $- 5$ 。

$x = 5 + \frac{- \ln (\frac{1}{5})}{- \ln (4)}$

解题步骤 9.3.1.4

将两个负数相除得到一个正数。

$x = 5 + \frac{\ln (\frac{1}{5})}{\ln (4)}$

解题步骤 10

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$x = 5 + \frac{\ln (\frac{1}{5})}{\ln (4)}$

小数形式：

$x = 3.83903595 \dots$

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