微积分学示例

$x = (1 + t) \sqrt{t}$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{t}$ 重写成 $t^{\frac{1}{2}}$ 。

$x = (1 + t) t^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 2

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d t} (x) = \frac{d}{d t} ((1 + t) t^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 3

$x$ 对 $t$ 的导数为 $x'$ 。

$x'$

解题步骤 4

对方程右边求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ 等于 $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ ，其中 $f (t) = 1 + t$ 且 $g (t) = t^{\frac{1}{2}}$ 。

$(1 + t) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}] + t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [1 + t]$

解题步骤 4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$(1 + t) (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1}) + t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [1 + t]$

解题步骤 4.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$(1 + t) (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [1 + t]$

解题步骤 4.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$(1 + t) (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [1 + t]$

解题步骤 4.5

在公分母上合并分子。

$(1 + t) (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [1 + t]$

解题步骤 4.6

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$(1 + t) (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}}) + t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [1 + t]$

解题步骤 4.6.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$(1 + t) (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}}) + t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [1 + t]$

解题步骤 4.7

合并分数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.7.1

将负号移到分数的前面。

$(1 + t) (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}}) + t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [1 + t]$

解题步骤 4.7.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $t^{- \frac{1}{2}}$ 。

$(1 + t) \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2} + t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [1 + t]$

解题步骤 4.7.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $t^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$(1 + t) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [1 + t]$

解题步骤 4.8

根据加法法则， $1 + t$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t]$ 。

$(1 + t) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + t^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t])$

解题步骤 4.9

因为 $1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $1$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$(1 + t) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + t^{\frac{1}{2}} (0 + \frac{d}{d t} [t])$

解题步骤 4.10

将 $0$ 和 $\frac{d}{d t} [t]$ 相加。

$(1 + t) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 4.11

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(1 + t) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + t^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

解题步骤 4.12

将 $t^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $1$ 。

$(1 + t) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + t^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 4.13

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.13.1

运用分配律。

$1 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + t \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + t^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 4.13.2

合并项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.13.2.1

将 $\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + t \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + t^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 4.13.2.2

组合 $t$ 和 $\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{t}{2 t^{\frac{1}{2}}} + t^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 4.13.2.3

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 将 $t^{\frac{1}{2}}$ 移动到分子。

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{t \cdot t^{- \frac{1}{2}}}{2} + t^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 4.13.2.4

通过指数相加将 $t$ 乘以 $t^{- \frac{1}{2}}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.13.2.4.1

将 $t$ 乘以 $t^{- \frac{1}{2}}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.13.2.4.1.1

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{t^{1} t^{- \frac{1}{2}}}{2} + t^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 4.13.2.4.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{t^{1 - \frac{1}{2}}}{2} + t^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 4.13.2.4.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{t^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2} + t^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 4.13.2.4.3

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{t^{\frac{2 - 1}{2}}}{2} + t^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 4.13.2.4.4

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2} + t^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 4.13.2.5

要将 $t^{\frac{1}{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2} + t^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 4.13.2.6

组合 $t^{\frac{1}{2}}$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{t^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2}$

解题步骤 4.13.2.7

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{t^{\frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2}$

解题步骤 4.13.2.8

将 $2$ 移到 $t^{\frac{1}{2}}$ 的左侧。

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{t^{\frac{1}{2}} + 2 \cdot t^{\frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 4.13.2.9

将 $t^{\frac{1}{2}}$ 和 $2 t^{\frac{1}{2}}$ 相加。

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 5

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$x' = \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d x}{d t}$ 替换 $x'$ 。

$\frac{d x}{d t} = \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{2}$

微积分学 示例

微积分学示例