微积分学示例

$\ln (y - 1) - \ln (2) = x + \ln (x)$

解题步骤 1

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\ln (\frac{y - 1}{2}) = x + \ln (x)$

解题步骤 2

将所有包含对数的项移到等式左边。

$\ln (\frac{y - 1}{2}) - \ln (x) = x$

解题步骤 3

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\ln (\frac{\frac{y - 1}{2}}{x}) = x$

解题步骤 4

将分子乘以分母的倒数。

$\ln (\frac{y - 1}{2} \cdot \frac{1}{x}) = x$

解题步骤 5

将 $\frac{y - 1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{x}$ 。

$\ln (\frac{y - 1}{2 x}) = x$

解题步骤 6

要求解 $y$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (\frac{y - 1}{2 x})} = e^{x}$

解题步骤 7

使用对数的定义将 $\ln (\frac{y - 1}{2 x}) = x$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{x} = \frac{y - 1}{2 x}$

解题步骤 8

求解 $y$ 。

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解题步骤 8.1

将方程重写为 $\frac{y - 1}{2 x} = e^{x}$ 。

$\frac{y - 1}{2 x} = e^{x}$

解题步骤 8.2

两边同时乘以 $2 x$ 。

$\frac{y - 1}{2 x} (2 x) = e^{x} (2 x)$

解题步骤 8.3

化简。

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解题步骤 8.3.1

化简左边。

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解题步骤 8.3.1.1

化简 $\frac{y - 1}{2 x} (2 x)$ 。

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解题步骤 8.3.1.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$2 \frac{y - 1}{2 x} x = e^{x} (2 x)$

解题步骤 8.3.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.1.1.2.1

从 $2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 \frac{y - 1}{2 (x)} x = e^{x} (2 x)$

解题步骤 8.3.1.1.2.2

约去公因数。

$2 \frac{y - 1}{2 x} x = e^{x} (2 x)$

解题步骤 8.3.1.1.2.3

重写表达式。

$\frac{y - 1}{x} x = e^{x} (2 x)$

解题步骤 8.3.1.1.3

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.1.1.3.1

约去公因数。

$\frac{y - 1}{x} x = e^{x} (2 x)$

解题步骤 8.3.1.1.3.2

重写表达式。

$y - 1 = e^{x} (2 x)$

解题步骤 8.3.2

化简右边。

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解题步骤 8.3.2.1

化简 $e^{x} (2 x)$ 。

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解题步骤 8.3.2.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$y - 1 = 2 e^{x} x$

解题步骤 8.3.2.1.2

将 $2 e^{x} x$ 中的因式重新排序。

$y - 1 = 2 x e^{x}$

解题步骤 8.4

在等式两边都加上 $1$ 。

$y = 2 x e^{x} + 1$

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