微积分学示例

$\sqrt{1 - x^{2}} - (\frac{x^{2}}{\sqrt{1 - x^{2}}})$

解题步骤 1

化简每一项。

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解题步骤 1.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\sqrt{1^{2} - x^{2}} - (\frac{x^{2}}{\sqrt{1 - x^{2}}})$

解题步骤 1.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = x$ 。

$\sqrt{(1 + x) (1 - x)} - (\frac{x^{2}}{\sqrt{1 - x^{2}}})$

解题步骤 1.3

化简分母。

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解题步骤 1.3.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{x^{2}}{\sqrt{1^{2} - x^{2}}}$

解题步骤 1.3.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = x$ 。

$\sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{x^{2}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$

解题步骤 1.4

将 $\frac{x^{2}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ 。

$\sqrt{(1 + x) (1 - x)} - (\frac{x^{2}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}})$

解题步骤 1.5

合并和化简分母。

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解题步骤 1.5.1

将 $\frac{x^{2}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ 。

$\sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$

解题步骤 1.5.2

对 $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$

解题步骤 1.5.3

对 $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1} {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1}}$

解题步骤 1.5.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1 + 1}}$

解题步骤 1.5.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}}$

解题步骤 1.5.6

将 ${\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}$ 重写为 $(1 + x) (1 - x)$ 。

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解题步骤 1.5.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ 重写成 ${((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{({((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.5.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 1.5.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 1.5.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.6.4.1

约去公因数。

$\sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 1.5.6.4.2

重写表达式。

$\sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{1}}$

解题步骤 1.5.6.5

化简。

$\sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 2

要将 $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{(1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)}$ 。

$\sqrt{(1 + x) (1 - x)} \cdot \frac{(1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)} - \frac{x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 3

化简项。

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解题步骤 3.1

组合 $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ 和 $\frac{(1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)}$ 。

$\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} ((1 + x) (1 - x))}{(1 + x) (1 - x)} - \frac{x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 3.2

在公分母上合并分子。

$\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} ((1 + x) (1 - x)) - x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 4

化简分子。

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解题步骤 4.1

从 $\sqrt{(1 + x) (1 - x)} ((1 + x) (1 - x)) - x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ 中分解出因数 $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ 。

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解题步骤 4.1.1

从 $- x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ 中分解出因数 $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ 。

$\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} ((1 + x) (1 - x)) + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} (- x^{2})}{(1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 4.1.2

从 $\sqrt{(1 + x) (1 - x)} ((1 + x) (1 - x)) + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} (- x^{2})$ 中分解出因数 $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ 。

$\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} ((1 + x) (1 - x) - x^{2})}{(1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 4.2

使用 FOIL 方法展开 $(1 + x) (1 - x)$ 。

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解题步骤 4.2.1

运用分配律。

$\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (1 (1 - x) + x (1 - x) - x^{2})}{(1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 4.2.2

运用分配律。

$\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x) - x^{2})}{(1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 4.2.3

运用分配律。

$\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) - x^{2})}{(1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 4.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.3.1

化简每一项。

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解题步骤 4.3.1.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) - x^{2})}{(1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 4.3.1.2

将 $- x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (1 - x + x \cdot 1 + x (- x) - x^{2})}{(1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 4.3.1.3

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (1 - x + x + x (- x) - x^{2})}{(1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 4.3.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (1 - x + x - x \cdot x - x^{2})}{(1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 4.3.1.5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.3.1.5.1

移动 $x$ 。

$\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (1 - x + x - (x \cdot x) - x^{2})}{(1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 4.3.1.5.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (1 - x + x - x^{2} - x^{2})}{(1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 4.3.2

将 $- x$ 和 $x$ 相加。

$\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (1 + 0 - x^{2} - x^{2})}{(1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 4.3.3

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (1 - x^{2} - x^{2})}{(1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 4.4

从 $- x^{2}$ 中减去 $x^{2}$ 。

$\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (1 - 2 x^{2})}{(1 + x) (1 - x)}$

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