微积分学示例

$\sin^{2} (0) + \sin^{2} (\frac{π}{8}) + \sin^{2} (\frac{π}{4}) + \sin^{2} (\frac{3 π}{8})$

解题步骤 1

化简每一项。

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解题步骤 1.1

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$0^{2} + \sin^{2} (\frac{π}{8}) + \sin^{2} (\frac{π}{4}) + \sin^{2} (\frac{3 π}{8})$

解题步骤 1.2

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$0 + \sin^{2} (\frac{π}{8}) + \sin^{2} (\frac{π}{4}) + \sin^{2} (\frac{3 π}{8})$

解题步骤 1.3

$\sin (\frac{π}{8})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ 。

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解题步骤 1.3.1

将 $\frac{π}{8}$ 重写为六个三角函数的值除以 $2$ 的角。

$0 + \sin^{2} (\frac{\frac{π}{4}}{2}) + \sin^{2} (\frac{π}{4}) + \sin^{2} (\frac{3 π}{8})$

解题步骤 1.3.2

使用正弦半角公式。

$0 + {(\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}})}^{2} + \sin^{2} (\frac{π}{4}) + \sin^{2} (\frac{3 π}{8})$

解题步骤 1.3.3

由于正弦在第一象限中为正，所以将 $\pm$ 变为 $+$ 。

$0 + {\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}}^{2} + \sin^{2} (\frac{π}{4}) + \sin^{2} (\frac{3 π}{8})$

解题步骤 1.3.4

化简 $\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}$ 。

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解题步骤 1.3.4.1

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$0 + {\sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}}^{2} + \sin^{2} (\frac{π}{4}) + \sin^{2} (\frac{3 π}{8})$

解题步骤 1.3.4.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$0 + {\sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}}^{2} + \sin^{2} (\frac{π}{4}) + \sin^{2} (\frac{3 π}{8})$

解题步骤 1.3.4.3

在公分母上合并分子。

$0 + {\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}}}^{2} + \sin^{2} (\frac{π}{4}) + \sin^{2} (\frac{3 π}{8})$

解题步骤 1.3.4.4

将分子乘以分母的倒数。

$0 + {\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}}^{2} + \sin^{2} (\frac{π}{4}) + \sin^{2} (\frac{3 π}{8})$

解题步骤 1.3.4.5

乘以 $\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 1.3.4.5.1

将 $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$0 + {\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}}^{2} + \sin^{2} (\frac{π}{4}) + \sin^{2} (\frac{3 π}{8})$

解题步骤 1.3.4.5.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$0 + {\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}}^{2} + \sin^{2} (\frac{π}{4}) + \sin^{2} (\frac{3 π}{8})$

解题步骤 1.3.4.6

将 $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ 。

$0 + {(\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}})}^{2} + \sin^{2} (\frac{π}{4}) + \sin^{2} (\frac{3 π}{8})$

解题步骤 1.3.4.7

化简分母。

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解题步骤 1.3.4.7.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$0 + {(\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}})}^{2} + \sin^{2} (\frac{π}{4}) + \sin^{2} (\frac{3 π}{8})$

解题步骤 1.3.4.7.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$0 + {(\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2})}^{2} + \sin^{2} (\frac{π}{4}) + \sin^{2} (\frac{3 π}{8})$

解题步骤 1.4

对 $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ 运用乘积法则。

$0 + \frac{{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}^{2}}{2^{2}} + \sin^{2} (\frac{π}{4}) + \sin^{2} (\frac{3 π}{8})$

解题步骤 1.5

将 ${\sqrt{2 - \sqrt{2}}}^{2}$ 重写为 $2 - \sqrt{2}$ 。

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解题步骤 1.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2 - \sqrt{2}}$ 重写成 ${(2 - \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$0 + \frac{{({(2 - \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + \sin^{2} (\frac{π}{4}) + \sin^{2} (\frac{3 π}{8})$

解题步骤 1.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$0 + \frac{{(2 - \sqrt{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + \sin^{2} (\frac{π}{4}) + \sin^{2} (\frac{3 π}{8})$

解题步骤 1.5.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$0 + \frac{{(2 - \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + \sin^{2} (\frac{π}{4}) + \sin^{2} (\frac{3 π}{8})$

解题步骤 1.5.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.4.1

约去公因数。

$0 + \frac{{(2 - \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + \sin^{2} (\frac{π}{4}) + \sin^{2} (\frac{3 π}{8})$

解题步骤 1.5.4.2

重写表达式。

$0 + \frac{{(2 - \sqrt{2})}^{1}}{2^{2}} + \sin^{2} (\frac{π}{4}) + \sin^{2} (\frac{3 π}{8})$

解题步骤 1.5.5

化简。

$0 + \frac{2 - \sqrt{2}}{2^{2}} + \sin^{2} (\frac{π}{4}) + \sin^{2} (\frac{3 π}{8})$

解题步骤 1.6

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$0 + \frac{2 - \sqrt{2}}{4} + \sin^{2} (\frac{π}{4}) + \sin^{2} (\frac{3 π}{8})$

解题步骤 1.7

$\sin (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$0 + \frac{2 - \sqrt{2}}{4} + {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} + \sin^{2} (\frac{3 π}{8})$

解题步骤 1.8

对 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 运用乘积法则。

$0 + \frac{2 - \sqrt{2}}{4} + \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} + \sin^{2} (\frac{3 π}{8})$

解题步骤 1.9

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 1.9.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$0 + \frac{2 - \sqrt{2}}{4} + \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + \sin^{2} (\frac{3 π}{8})$

解题步骤 1.9.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$0 + \frac{2 - \sqrt{2}}{4} + \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + \sin^{2} (\frac{3 π}{8})$

解题步骤 1.9.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$0 + \frac{2 - \sqrt{2}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + \sin^{2} (\frac{3 π}{8})$

解题步骤 1.9.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.9.4.1

约去公因数。

$0 + \frac{2 - \sqrt{2}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + \sin^{2} (\frac{3 π}{8})$

解题步骤 1.9.4.2

重写表达式。

$0 + \frac{2 - \sqrt{2}}{4} + \frac{2^{1}}{2^{2}} + \sin^{2} (\frac{3 π}{8})$

解题步骤 1.9.5

计算指数。

$0 + \frac{2 - \sqrt{2}}{4} + \frac{2}{2^{2}} + \sin^{2} (\frac{3 π}{8})$

解题步骤 1.10

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$0 + \frac{2 - \sqrt{2}}{4} + \frac{2}{4} + \sin^{2} (\frac{3 π}{8})$

解题步骤 1.11

约去 $2$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 1.11.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$0 + \frac{2 - \sqrt{2}}{4} + \frac{2 (1)}{4} + \sin^{2} (\frac{3 π}{8})$

解题步骤 1.11.2

约去公因数。

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解题步骤 1.11.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$0 + \frac{2 - \sqrt{2}}{4} + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} + \sin^{2} (\frac{3 π}{8})$

解题步骤 1.11.2.2

约去公因数。

$0 + \frac{2 - \sqrt{2}}{4} + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} + \sin^{2} (\frac{3 π}{8})$

解题步骤 1.11.2.3

重写表达式。

$0 + \frac{2 - \sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2} + \sin^{2} (\frac{3 π}{8})$

解题步骤 1.12

$\sin (\frac{3 π}{8})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ 。

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解题步骤 1.12.1

将 $\frac{3 π}{8}$ 重写为六个三角函数的值除以 $2$ 的角。

$0 + \frac{2 - \sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2} + \sin^{2} (\frac{\frac{3 π}{4}}{2})$

解题步骤 1.12.2

使用正弦半角公式。

$0 + \frac{2 - \sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2} + {(\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{3 π}{4})}{2}})}^{2}$

解题步骤 1.12.3

由于正弦在第一象限中为正，所以将 $\pm$ 变为 $+$ 。

$0 + \frac{2 - \sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2} + {\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{3 π}{4})}{2}}}^{2}$

解题步骤 1.12.4

化简 $\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{3 π}{4})}{2}}$ 。

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解题步骤 1.12.4.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$0 + \frac{2 - \sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2} + {\sqrt{\frac{1 - - \cos (\frac{π}{4})}{2}}}^{2}$

解题步骤 1.12.4.2

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$0 + \frac{2 - \sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2} + {\sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}}^{2}$

解题步骤 1.12.4.3

乘以 $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

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解题步骤 1.12.4.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$0 + \frac{2 - \sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2} + {\sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}}^{2}$

解题步骤 1.12.4.3.2

将 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 乘以 $1$ 。

$0 + \frac{2 - \sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2} + {\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}}^{2}$

解题步骤 1.12.4.4

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$0 + \frac{2 - \sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2} + {\sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}}^{2}$

解题步骤 1.12.4.5

在公分母上合并分子。

$0 + \frac{2 - \sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2} + {\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}}}^{2}$

解题步骤 1.12.4.6

将分子乘以分母的倒数。

$0 + \frac{2 - \sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2} + {\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}}^{2}$

解题步骤 1.12.4.7

乘以 $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 1.12.4.7.1

将 $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$0 + \frac{2 - \sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2} + {\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}}^{2}$

解题步骤 1.12.4.7.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$0 + \frac{2 - \sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2} + {\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}}^{2}$

解题步骤 1.12.4.8

将 $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ 。

$0 + \frac{2 - \sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2} + {(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}})}^{2}$

解题步骤 1.12.4.9

化简分母。

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解题步骤 1.12.4.9.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$0 + \frac{2 - \sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2} + {(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}})}^{2}$

解题步骤 1.12.4.9.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$0 + \frac{2 - \sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2} + {(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2})}^{2}$

解题步骤 1.13

对 $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ 运用乘积法则。

$0 + \frac{2 - \sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{2}}{2^{2}}$

解题步骤 1.14

将 ${\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{2}$ 重写为 $2 + \sqrt{2}$ 。

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解题步骤 1.14.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2 + \sqrt{2}}$ 重写成 ${(2 + \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$0 + \frac{2 - \sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2} + \frac{{({(2 + \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}$

解题步骤 1.14.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$0 + \frac{2 - \sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2} + \frac{{(2 + \sqrt{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}$

解题步骤 1.14.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$0 + \frac{2 - \sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2} + \frac{{(2 + \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

解题步骤 1.14.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.14.4.1

约去公因数。

$0 + \frac{2 - \sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2} + \frac{{(2 + \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

解题步骤 1.14.4.2

重写表达式。

$0 + \frac{2 - \sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2} + \frac{{(2 + \sqrt{2})}^{1}}{2^{2}}$

解题步骤 1.14.5

化简。

$0 + \frac{2 - \sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2} + \frac{2 + \sqrt{2}}{2^{2}}$

解题步骤 1.15

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$0 + \frac{2 - \sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2} + \frac{2 + \sqrt{2}}{4}$

解题步骤 2

化简项。

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解题步骤 2.1

在公分母上合并分子。

$\frac{2 - \sqrt{2} + 2 + \sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}$

解题步骤 2.2

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$\frac{4 - \sqrt{2} + \sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}$

解题步骤 2.3

将 $- \sqrt{2}$ 和 $\sqrt{2}$ 相加。

$\frac{4 + 0}{4} + \frac{1}{2}$

解题步骤 2.4

化简表达式。

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解题步骤 2.4.1

将 $4$ 和 $0$ 相加。

$\frac{4}{4} + \frac{1}{2}$

解题步骤 2.4.2

用 $4$ 除以 $4$ 。

$1 + \frac{1}{2}$

解题步骤 2.4.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{2}{2} + \frac{1}{2}$

解题步骤 2.4.4

在公分母上合并分子。

$\frac{2 + 1}{2}$

解题步骤 2.4.5

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{3}{2}$

解题步骤 3

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{3}{2}$

小数形式：

$1.5$

带分数形式：

$1 \frac{1}{2}$

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