微积分学示例

$1 + {(- x^{- \frac{1}{3}} {(16 - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

解题步骤 1

化简项。

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解题步骤 1.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$1 + {(- \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} {(16 - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

解题步骤 1.1.2

组合 ${(16 - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}}$ 和 $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ 。

$1 + {(- \frac{{(16 - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{3}}})}^{2}$

解题步骤 1.1.3

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 1.1.3.1

对 $- \frac{{(16 - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{3}}}$ 运用乘积法则。

$1 + {(- 1)}^{2} {(\frac{{(16 - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{3}}})}^{2}$

解题步骤 1.1.3.2

对 $\frac{{(16 - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{3}}}$ 运用乘积法则。

$1 + {(- 1)}^{2} \frac{{({(16 - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

解题步骤 1.1.4

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$1 + 1 \frac{{({(16 - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

解题步骤 1.1.5

将 $\frac{{({(16 - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$1 + \frac{{({(16 - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

解题步骤 1.1.6

化简分子。

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解题步骤 1.1.6.1

将 ${({(16 - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.1.6.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$1 + \frac{{(16 - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

解题步骤 1.1.6.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.6.1.2.1

约去公因数。

$1 + \frac{{(16 - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

解题步骤 1.1.6.1.2.2

重写表达式。

$1 + \frac{{(16 - x^{\frac{2}{3}})}^{1}}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

解题步骤 1.1.6.2

化简。

$1 + \frac{16 - x^{\frac{2}{3}}}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

解题步骤 1.1.6.3

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$1 + \frac{4^{2} - x^{\frac{2}{3}}}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

解题步骤 1.1.6.4

将 $x^{\frac{2}{3}}$ 重写为 ${(x^{\frac{1}{3}})}^{2}$ 。

$1 + \frac{4^{2} - {(x^{\frac{1}{3}})}^{2}}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

解题步骤 1.1.6.5

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 4$ 和 $b = x^{\frac{1}{3}}$ 。

$1 + \frac{(4 + x^{\frac{1}{3}}) (4 - x^{\frac{1}{3}})}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

解题步骤 1.1.7

将 ${(x^{\frac{1}{3}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.1.7.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$1 + \frac{(4 + x^{\frac{1}{3}}) (4 - x^{\frac{1}{3}})}{x^{\frac{1}{3} \cdot 2}}$

解题步骤 1.1.7.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $2$ 。

$1 + \frac{(4 + x^{\frac{1}{3}}) (4 - x^{\frac{1}{3}})}{x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.2

合并为一个分式。

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解题步骤 1.2.1

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}} + \frac{(4 + x^{\frac{1}{3}}) (4 - x^{\frac{1}{3}})}{x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.2.2

在公分母上合并分子。

$\frac{x^{\frac{2}{3}} + (4 + x^{\frac{1}{3}}) (4 - x^{\frac{1}{3}})}{x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2

化简分子。

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解题步骤 2.1

使用 FOIL 方法展开 $(4 + x^{\frac{1}{3}}) (4 - x^{\frac{1}{3}})$ 。

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解题步骤 2.1.1

运用分配律。

$\frac{x^{\frac{2}{3}} + 4 (4 - x^{\frac{1}{3}}) + x^{\frac{1}{3}} (4 - x^{\frac{1}{3}})}{x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.1.2

运用分配律。

$\frac{x^{\frac{2}{3}} + 4 \cdot 4 + 4 (- x^{\frac{1}{3}}) + x^{\frac{1}{3}} (4 - x^{\frac{1}{3}})}{x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.1.3

运用分配律。

$\frac{x^{\frac{2}{3}} + 4 \cdot 4 + 4 (- x^{\frac{1}{3}}) + x^{\frac{1}{3}} \cdot 4 + x^{\frac{1}{3}} (- x^{\frac{1}{3}})}{x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.1.1

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$\frac{x^{\frac{2}{3}} + 16 + 4 (- x^{\frac{1}{3}}) + x^{\frac{1}{3}} \cdot 4 + x^{\frac{1}{3}} (- x^{\frac{1}{3}})}{x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$\frac{x^{\frac{2}{3}} + 16 - 4 x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot 4 + x^{\frac{1}{3}} (- x^{\frac{1}{3}})}{x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.2.1.3

将 $4$ 移到 $x^{\frac{1}{3}}$ 的左侧。

$\frac{x^{\frac{2}{3}} + 16 - 4 x^{\frac{1}{3}} + 4 \cdot x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} (- x^{\frac{1}{3}})}{x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.2.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{x^{\frac{2}{3}} + 16 - 4 x^{\frac{1}{3}} + 4 x^{\frac{1}{3}} - x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.2.1.5

通过指数相加将 $x^{\frac{1}{3}}$ 乘以 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

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解题步骤 2.2.1.5.1

移动 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

$\frac{x^{\frac{2}{3}} + 16 - 4 x^{\frac{1}{3}} + 4 x^{\frac{1}{3}} - (x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}})}{x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.2.1.5.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{x^{\frac{2}{3}} + 16 - 4 x^{\frac{1}{3}} + 4 x^{\frac{1}{3}} - x^{\frac{1}{3} + \frac{1}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.2.1.5.3

在公分母上合并分子。

$\frac{x^{\frac{2}{3}} + 16 - 4 x^{\frac{1}{3}} + 4 x^{\frac{1}{3}} - x^{\frac{1 + 1}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.2.1.5.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{x^{\frac{2}{3}} + 16 - 4 x^{\frac{1}{3}} + 4 x^{\frac{1}{3}} - x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.2.2

将 $- 4 x^{\frac{1}{3}}$ 和 $4 x^{\frac{1}{3}}$ 相加。

$\frac{x^{\frac{2}{3}} + 16 + 0 - x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.2.3

将 $16$ 和 $0$ 相加。

$\frac{x^{\frac{2}{3}} + 16 - x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.3

从 $x^{\frac{2}{3}}$ 中减去 $x^{\frac{2}{3}}$ 。

$\frac{0 + 16}{x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.4

将 $0$ 和 $16$ 相加。

$\frac{16}{x^{\frac{2}{3}}}$

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