微积分学示例

$\frac{8 x^{3} - 27}{2 x^{2} - x - 3} < \frac{3}{2}$

解题步骤 1

从不等式两边同时减去 $\frac{3}{2}$ 。

$\frac{8 x^{3} - 27}{2 x^{2} - x - 3} - \frac{3}{2} < 0$

解题步骤 2

化简 $\frac{8 x^{3} - 27}{2 x^{2} - x - 3} - \frac{3}{2}$ 。

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解题步骤 2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.1

化简分子。

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解题步骤 2.1.1.1

将 $8 x^{3}$ 重写为 ${(2 x)}^{3}$ 。

$\frac{{(2 x)}^{3} - 27}{2 x^{2} - x - 3} - \frac{3}{2} < 0$

解题步骤 2.1.1.2

将 $27$ 重写为 $3^{3}$ 。

$\frac{{(2 x)}^{3} - 3^{3}}{2 x^{2} - x - 3} - \frac{3}{2} < 0$

解题步骤 2.1.1.3

因为两项都是完全立方数，所以使用立方差公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = 2 x$ 和 $b = 3$ 。

$\frac{(2 x - 3) ({(2 x)}^{2} + 2 x \cdot 3 + 3^{2})}{2 x^{2} - x - 3} - \frac{3}{2} < 0$

解题步骤 2.1.1.4

化简。

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解题步骤 2.1.1.4.1

对 $2 x$ 运用乘积法则。

$\frac{(2 x - 3) (2^{2} x^{2} + 2 x \cdot 3 + 3^{2})}{2 x^{2} - x - 3} - \frac{3}{2} < 0$

解题步骤 2.1.1.4.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{(2 x - 3) (4 x^{2} + 2 x \cdot 3 + 3^{2})}{2 x^{2} - x - 3} - \frac{3}{2} < 0$

解题步骤 2.1.1.4.3

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{(2 x - 3) (4 x^{2} + 6 x + 3^{2})}{2 x^{2} - x - 3} - \frac{3}{2} < 0$

解题步骤 2.1.1.4.4

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{(2 x - 3) (4 x^{2} + 6 x + 9)}{2 x^{2} - x - 3} - \frac{3}{2} < 0$

解题步骤 2.1.2

分组因式分解。

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解题步骤 2.1.2.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ 并且它们的和为 $b = - 1$ 。

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解题步骤 2.1.2.1.1

从 $- x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{(2 x - 3) (4 x^{2} + 6 x + 9)}{2 x^{2} - (x) - 3} - \frac{3}{2} < 0$

解题步骤 2.1.2.1.2

把 $- 1$ 重写为 $2$ 加 $- 3$

$\frac{(2 x - 3) (4 x^{2} + 6 x + 9)}{2 x^{2} + (2 - 3) x - 3} - \frac{3}{2} < 0$

解题步骤 2.1.2.1.3

运用分配律。

$\frac{(2 x - 3) (4 x^{2} + 6 x + 9)}{2 x^{2} + 2 x - 3 x - 3} - \frac{3}{2} < 0$

解题步骤 2.1.2.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 2.1.2.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$\frac{(2 x - 3) (4 x^{2} + 6 x + 9)}{(2 x^{2} + 2 x) - 3 x - 3} - \frac{3}{2} < 0$

解题步骤 2.1.2.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$\frac{(2 x - 3) (4 x^{2} + 6 x + 9)}{2 x (x + 1) - 3 (x + 1)} - \frac{3}{2} < 0$

解题步骤 2.1.2.3

通过因式分解出最大公因数 $x + 1$ 来因式分解多项式。

$\frac{(2 x - 3) (4 x^{2} + 6 x + 9)}{(x + 1) (2 x - 3)} - \frac{3}{2} < 0$

解题步骤 2.1.3

约去 $2 x - 3$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.3.1

约去公因数。

$\frac{(2 x - 3) (4 x^{2} + 6 x + 9)}{(x + 1) (2 x - 3)} - \frac{3}{2} < 0$

解题步骤 2.1.3.2

重写表达式。

$\frac{4 x^{2} + 6 x + 9}{x + 1} - \frac{3}{2} < 0$

解题步骤 2.2

要将 $\frac{4 x^{2} + 6 x + 9}{x + 1}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{4 x^{2} + 6 x + 9}{x + 1} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2} < 0$

解题步骤 2.3

要将 $- \frac{3}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x + 1}{x + 1}$ 。

$\frac{4 x^{2} + 6 x + 9}{x + 1} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} < 0$

解题步骤 2.4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(x + 1) \cdot 2$ 的形式。

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解题步骤 2.4.1

将 $\frac{4 x^{2} + 6 x + 9}{x + 1}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{(4 x^{2} + 6 x + 9) \cdot 2}{(x + 1) \cdot 2} - \frac{3}{2} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} < 0$

解题步骤 2.4.2

将 $\frac{3}{2}$ 乘以 $\frac{x + 1}{x + 1}$ 。

$\frac{(4 x^{2} + 6 x + 9) \cdot 2}{(x + 1) \cdot 2} - \frac{3 (x + 1)}{2 (x + 1)} < 0$

解题步骤 2.4.3

重新排序 $(x + 1) \cdot 2$ 的因式。

$\frac{(4 x^{2} + 6 x + 9) \cdot 2}{2 (x + 1)} - \frac{3 (x + 1)}{2 (x + 1)} < 0$

解题步骤 2.5

在公分母上合并分子。

$\frac{(4 x^{2} + 6 x + 9) \cdot 2 - 3 (x + 1)}{2 (x + 1)} < 0$

解题步骤 2.6

化简分子。

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解题步骤 2.6.1

运用分配律。

$\frac{4 x^{2} \cdot 2 + 6 x \cdot 2 + 9 \cdot 2 - 3 (x + 1)}{2 (x + 1)} < 0$

解题步骤 2.6.2

化简。

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解题步骤 2.6.2.1

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$\frac{8 x^{2} + 6 x \cdot 2 + 9 \cdot 2 - 3 (x + 1)}{2 (x + 1)} < 0$

解题步骤 2.6.2.2

将 $2$ 乘以 $6$ 。

$\frac{8 x^{2} + 12 x + 9 \cdot 2 - 3 (x + 1)}{2 (x + 1)} < 0$

解题步骤 2.6.2.3

将 $9$ 乘以 $2$ 。

$\frac{8 x^{2} + 12 x + 18 - 3 (x + 1)}{2 (x + 1)} < 0$

解题步骤 2.6.3

运用分配律。

$\frac{8 x^{2} + 12 x + 18 - 3 x - 3 \cdot 1}{2 (x + 1)} < 0$

解题步骤 2.6.4

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{8 x^{2} + 12 x + 18 - 3 x - 3}{2 (x + 1)} < 0$

解题步骤 2.6.5

从 $12 x$ 中减去 $3 x$ 。

$\frac{8 x^{2} + 9 x + 18 - 3}{2 (x + 1)} < 0$

解题步骤 2.6.6

从 $18$ 中减去 $3$ 。

$\frac{8 x^{2} + 9 x + 15}{2 (x + 1)} < 0$

解题步骤 3

通过把每个因数设为 $0$ 并求解的方式求表达式从负变为正的所有值。

$8 x^{2} + 9 x + 15 = 0$

$x + 1 = 0$

解题步骤 4

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 5

将 $a = 8$ 、 $b = 9$ 和 $c = 15$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot (8 \cdot 15)}}{2 \cdot 8}$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

化简分子。

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解题步骤 6.1.1

对 $9$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot 8 \cdot 15}}{2 \cdot 8}$

解题步骤 6.1.2

乘以 $- 4 \cdot 8 \cdot 15$ 。

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解题步骤 6.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $8$ 。

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 32 \cdot 15}}{2 \cdot 8}$

解题步骤 6.1.2.2

将 $- 32$ 乘以 $15$ 。

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 480}}{2 \cdot 8}$

解题步骤 6.1.3

从 $81$ 中减去 $480$ 。

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{- 399}}{2 \cdot 8}$

解题步骤 6.1.4

将 $- 399$ 重写为 $- 1 (399)$ 。

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{- 1 \cdot 399}}{2 \cdot 8}$

解题步骤 6.1.5

将 $\sqrt{- 1 (399)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{399}$ 。

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{399}}{2 \cdot 8}$

解题步骤 6.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{- 9 \pm i \sqrt{399}}{2 \cdot 8}$

解题步骤 6.2

将 $2$ 乘以 $8$ 。

$x = \frac{- 9 \pm i \sqrt{399}}{16}$

解题步骤 7

最终答案为两个解的组合。

$x = - \frac{9 - i \sqrt{399}}{16}, - \frac{9 + i \sqrt{399}}{16}$

解题步骤 8

从等式两边同时减去 $1$ 。

$x = - 1$

解题步骤 9

求解每个因式，以求出绝对值表达式从负数变为正数的值。

$x = - \frac{9 - i \sqrt{399}}{16}, - \frac{9 + i \sqrt{399}}{16}$

$x = - 1$

解题步骤 10

求 $\frac{8 x^{2} + 9 x + 15}{2 (x + 1)}$ 的定义域。

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解题步骤 10.1

将 $\frac{8 x^{2} + 9 x + 15}{2 (x + 1)}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$2 (x + 1) = 0$

解题步骤 10.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 10.2.1

将 $2 (x + 1) = 0$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 10.2.1.1

将 $2 (x + 1) = 0$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 (x + 1)}{2} = \frac{0}{2}$

解题步骤 10.2.1.2

化简左边。

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解题步骤 10.2.1.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 10.2.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 (x + 1)}{2} = \frac{0}{2}$

解题步骤 10.2.1.2.1.2

用 $x + 1$ 除以 $1$ 。

$x + 1 = \frac{0}{2}$

解题步骤 10.2.1.3

化简右边。

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解题步骤 10.2.1.3.1

用 $0$ 除以 $2$ 。

$x + 1 = 0$

解题步骤 10.2.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$x = - 1$

解题步骤 10.3

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

解题步骤 11

解由使等式成立的所有区间组成。

$x < - 1$

解题步骤 12

结果可以多种形式表示。

不等式形式：

$x < - 1$

区间计数法：

$(- \infty, - 1)$

解题步骤 13

微积分学 示例

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