微积分学示例

$e^{2 x} - 2 e^{x} + 1 = 0$

解题步骤 1

将 $e^{2 x}$ 重写为乘方形式。

${(e^{x})}^{2} - 2 e^{x} + 1 = 0$

解题步骤 2

代入 $u$ 替换 $e^{x}$ 。

$u^{2} - 2 u + 1 = 0$

解题步骤 3

求解 $u$ 。

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解题步骤 3.1

使用完全平方法则进行因式分解。

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解题步骤 3.1.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$u^{2} - 2 u + 1^{2} = 0$

解题步骤 3.1.2

请检查中间项是否为第一项被平方数和第三项被平方数的乘积的两倍。

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

解题步骤 3.1.3

重写多项式。

$u^{2} - 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2} = 0$

解题步骤 3.1.4

使用完全平方三项式法则对 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ 进行因式分解，其中 $a = u$ 和 $b = 1$ 。

${(u - 1)}^{2} = 0$

${(u - 1)}^{2} = 0$

解题步骤 3.2

将 $u - 1$ 设为等于 $0$ 。

$u - 1 = 0$

解题步骤 3.3

在等式两边都加上 $1$ 。

$u = 1$

$u = 1$

解题步骤 4

代入 $1$ 替换 $u = e^{x}$ 中的 $u$ 。

$1 = e^{x}$

解题步骤 5

求解 $1 = e^{x}$ 。

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解题步骤 5.1

将方程重写为 $e^{x} = 1$ 。

$e^{x} = 1$

解题步骤 5.2

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{x}) = \ln (1)$

解题步骤 5.3

展开左边。

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解题步骤 5.3.1

通过将 $x$ 移到对数外来展开 $\ln (e^{x})$ 。

$x \ln (e) = \ln (1)$

解题步骤 5.3.2

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$x \cdot 1 = \ln (1)$

解题步骤 5.3.3

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$x = \ln (1)$

$x = \ln (1)$

解题步骤 5.4

$1$ 的自然对数为 $0$ 。

$x = 0$

$x = 0$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$