微积分学示例

$x^{2} y^{3} - 2 x y = 6 x + y + 1$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $6 x$ 。

$x^{2} y^{3} - 2 x y - 6 x = y + 1$

解题步骤 2

将所有表达式移到等式左边。

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解题步骤 2.1

从等式两边同时减去 $y$ 。

$x^{2} y^{3} - 2 x y - 6 x - y = 1$

解题步骤 2.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$x^{2} y^{3} - 2 x y - 6 x - y - 1 = 0$

解题步骤 3

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 4

将 $a = y^{3}$ 、 $b = - 2 y - 6$ 和 $c = - y - 1$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{- (- 2 y - 6) \pm \sqrt{{(- 2 y - 6)}^{2} - 4 \cdot (y^{3} \cdot (- y - 1))}}{2 y^{3}}$

解题步骤 5

化简分子。

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解题步骤 5.1

运用分配律。

$x = \frac{- (- 2 y) + 6 \pm \sqrt{{(- 2 y - 6)}^{2} - 4 \cdot y^{3} \cdot (- y - 1)}}{2 y^{3}}$

解题步骤 5.2

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{{(- 2 y - 6)}^{2} - 4 \cdot y^{3} \cdot (- y - 1)}}{2 y^{3}}$

解题步骤 5.3

将 $- 1$ 乘以 $- 6$ 。

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{{(- 2 y - 6)}^{2} - 4 \cdot y^{3} \cdot (- y - 1)}}{2 y^{3}}$

解题步骤 5.4

添加圆括号。

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{{(- 2 y - 6)}^{2} - 4 \cdot (y^{3} \cdot (- y - 1))}}{2 y^{3}}$

解题步骤 5.5

使 $u = y^{3} \cdot (- y - 1)$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $y^{3} \cdot (- y - 1)$ 。

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解题步骤 5.5.1

将 ${(- 2 y - 6)}^{2}$ 重写为 $(- 2 y - 6) (- 2 y - 6)$ 。

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{(- 2 y - 6) (- 2 y - 6) - 4 \cdot u}}{2 y^{3}}$

解题步骤 5.5.2

使用 FOIL 方法展开 $(- 2 y - 6) (- 2 y - 6)$ 。

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解题步骤 5.5.2.1

运用分配律。

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{- 2 y (- 2 y - 6) - 6 (- 2 y - 6) - 4 \cdot u}}{2 y^{3}}$

解题步骤 5.5.2.2

运用分配律。

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{- 2 y (- 2 y) - 2 y \cdot - 6 - 6 (- 2 y - 6) - 4 \cdot u}}{2 y^{3}}$

解题步骤 5.5.2.3

运用分配律。

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{- 2 y (- 2 y) - 2 y \cdot - 6 - 6 (- 2 y) - 6 \cdot - 6 - 4 \cdot u}}{2 y^{3}}$

解题步骤 5.5.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 5.5.3.1

化简每一项。

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解题步骤 5.5.3.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 y \cdot y) - 2 y \cdot - 6 - 6 (- 2 y) - 6 \cdot - 6 - 4 \cdot u}}{2 y^{3}}$

解题步骤 5.5.3.1.2

通过指数相加将 $y$ 乘以 $y$ 。

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解题步骤 5.5.3.1.2.1

移动 $y$ 。

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 (y \cdot y)) - 2 y \cdot - 6 - 6 (- 2 y) - 6 \cdot - 6 - 4 \cdot u}}{2 y^{3}}$

解题步骤 5.5.3.1.2.2

将 $y$ 乘以 $y$ 。

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 y^{2}) - 2 y \cdot - 6 - 6 (- 2 y) - 6 \cdot - 6 - 4 \cdot u}}{2 y^{3}}$

解题步骤 5.5.3.1.3

将 $- 2$ 乘以 $- 2$ 。

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 y^{2} - 2 y \cdot - 6 - 6 (- 2 y) - 6 \cdot - 6 - 4 \cdot u}}{2 y^{3}}$

解题步骤 5.5.3.1.4

将 $- 6$ 乘以 $- 2$ 。

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 y^{2} + 12 y - 6 (- 2 y) - 6 \cdot - 6 - 4 \cdot u}}{2 y^{3}}$

解题步骤 5.5.3.1.5

将 $- 2$ 乘以 $- 6$ 。

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 y^{2} + 12 y + 12 y - 6 \cdot - 6 - 4 \cdot u}}{2 y^{3}}$

解题步骤 5.5.3.1.6

将 $- 6$ 乘以 $- 6$ 。

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 y^{2} + 12 y + 12 y + 36 - 4 \cdot u}}{2 y^{3}}$

解题步骤 5.5.3.2

将 $12 y$ 和 $12 y$ 相加。

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 y^{2} + 24 y + 36 - 4 \cdot u}}{2 y^{3}}$

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 y^{2} + 24 y + 36 - 4 u}}{2 y^{3}}$

解题步骤 5.6

从 $4 y^{2} + 24 y + 36 - 4 u$ 中分解出因数 $4$ 。

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解题步骤 5.6.1

从 $4 y^{2}$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2}) + 24 y + 36 - 4 u}}{2 y^{3}}$

解题步骤 5.6.2

从 $24 y$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2}) + 4 (6 y) + 36 - 4 u}}{2 y^{3}}$

解题步骤 5.6.3

从 $36$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2}) + 4 (6 y) + 4 (9) - 4 u}}{2 y^{3}}$

解题步骤 5.6.4

从 $- 4 u$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2}) + 4 (6 y) + 4 (9) + 4 (- u)}}{2 y^{3}}$

解题步骤 5.6.5

从 $4 (y^{2}) + 4 (6 y)$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 6 y) + 4 (9) + 4 (- u)}}{2 y^{3}}$

解题步骤 5.6.6

从 $4 (y^{2} + 6 y) + 4 (9)$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 6 y + 9) + 4 (- u)}}{2 y^{3}}$

解题步骤 5.6.7

从 $4 (y^{2} + 6 y + 9) + 4 (- u)$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 6 y + 9 - u)}}{2 y^{3}}$

解题步骤 5.7

使用 $y^{3} \cdot (- y - 1)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 6 y + 9 - (y^{3} \cdot (- y - 1)))}}{2 y^{3}}$

解题步骤 5.8

化简每一项。

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解题步骤 5.8.1

运用分配律。

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 6 y + 9 - (y^{3} (- y) + y^{3} \cdot - 1))}}{2 y^{3}}$

解题步骤 5.8.2

使用乘法的交换性质重写。

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 6 y + 9 - (- y^{3} y + y^{3} \cdot - 1))}}{2 y^{3}}$

解题步骤 5.8.3

将 $- 1$ 移到 $y^{3}$ 的左侧。

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 6 y + 9 - (- y^{3} y - 1 \cdot y^{3}))}}{2 y^{3}}$

解题步骤 5.8.4

化简每一项。

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解题步骤 5.8.4.1

通过指数相加将 $y^{3}$ 乘以 $y$ 。

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解题步骤 5.8.4.1.1

移动 $y$ 。

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 6 y + 9 - (- (y \cdot y^{3}) - 1 \cdot y^{3}))}}{2 y^{3}}$

解题步骤 5.8.4.1.2

将 $y$ 乘以 $y^{3}$ 。

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解题步骤 5.8.4.1.2.1

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 6 y + 9 - (- (y \cdot y^{3}) - 1 \cdot y^{3}))}}{2 y^{3}}$

解题步骤 5.8.4.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 6 y + 9 - (- y^{1 + 3} - 1 \cdot y^{3}))}}{2 y^{3}}$

解题步骤 5.8.4.1.3

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 6 y + 9 - (- y^{4} - 1 \cdot y^{3}))}}{2 y^{3}}$

解题步骤 5.8.4.2

将 $- 1 y^{3}$ 重写为 $- y^{3}$ 。

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 6 y + 9 - (- y^{4} - y^{3}))}}{2 y^{3}}$

解题步骤 5.8.5

运用分配律。

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 6 y + 9 + y^{4} + y^{3})}}{2 y^{3}}$

解题步骤 5.8.6

乘以 $- - y^{4}$ 。

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解题步骤 5.8.6.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 6 y + 9 + 1 y^{4} + y^{3})}}{2 y^{3}}$

解题步骤 5.8.6.2

将 $y^{4}$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 6 y + 9 + y^{4} + y^{3})}}{2 y^{3}}$

解题步骤 5.8.7

乘以 $- - y^{3}$ 。

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解题步骤 5.8.7.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 6 y + 9 + y^{4} + 1 y^{3})}}{2 y^{3}}$

解题步骤 5.8.7.2

将 $y^{3}$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 6 y + 9 + y^{4} + y^{3})}}{2 y^{3}}$

解题步骤 5.9

重新排序项。

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{4} + y^{3} + y^{2} + 6 y + 9)}}{2 y^{3}}$

解题步骤 5.10

将 $4 (y^{4} + y^{3} + y^{2} + 6 y + 9)$ 重写为 $2^{2} ({(y^{2})}^{2} + y^{3} + y^{2} + 6 y + 9)$ 。

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解题步骤 5.10.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{2^{2} (y^{4} + y^{3} + y^{2} + 6 y + 9)}}{2 y^{3}}$

解题步骤 5.10.2

将 $y^{4}$ 重写为 ${(y^{2})}^{2}$ 。

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{2^{2} ({(y^{2})}^{2} + y^{3} + y^{2} + 6 y + 9)}}{2 y^{3}}$

解题步骤 5.11

从根式下提出各项。

$x = \frac{2 y + 6 \pm 2 \sqrt{{(y^{2})}^{2} + y^{3} + y^{2} + 6 y + 9}}{2 y^{3}}$

解题步骤 5.12

将 ${(y^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.12.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x = \frac{2 y + 6 \pm 2 \sqrt{y^{2 \cdot 2} + y^{3} + y^{2} + 6 y + 9}}{2 y^{3}}$

解题步骤 5.12.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{2 y + 6 \pm 2 \sqrt{y^{4} + y^{3} + y^{2} + 6 y + 9}}{2 y^{3}}$

解题步骤 6

最终答案为两个解的组合。

$x = \frac{y + 3 + \sqrt{y^{4} + y^{3} + y^{2} + 6 y + 9}}{y^{3}}$

$x = \frac{y + 3 - \sqrt{y^{4} + y^{3} + y^{2} + 6 y + 9}}{y^{3}}$

微积分学 示例

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