微积分学示例

$\frac{x + 1}{x - 1} + \frac{x - 1}{x + 1} = \frac{13}{6}$

解题步骤 1

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 1.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$x - 1, x + 1, 6$

解题步骤 1.2

最小公倍数是能被所有数整除的最小正数。

1. 列出每个数的质因数。

2. 将每个因数乘以它在任一数字中出现的最大次数。

解题步骤 1.3

该数 $1$ 不是一个质数，因为它只有一个正因数，即其本身。

非质数

解题步骤 1.4

$6$ 具有因式 $2$ 和 $3$ 。

$2 \cdot 3$

解题步骤 1.5

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$6$

解题步骤 1.6

$x - 1$ 的因式是 $x - 1$ 本身。

$(x - 1) = x - 1$

$(x - 1)$ 出现了 $1$ 次。

解题步骤 1.7

$x + 1$ 的因式是 $x + 1$ 本身。

$(x + 1) = x + 1$

$(x + 1)$ 出现了 $1$ 次。

解题步骤 1.8

$x - 1, x + 1$ 的最小公倍数为在任一项中出现次数最多的所有因数的乘积。

$(x - 1) (x + 1)$

解题步骤 1.9

某些数的最小公倍数 $LCM$ 是这些均为其因数的最小数。

$6 (x - 1) (x + 1)$

解题步骤 2

将 $\frac{x + 1}{x - 1} + \frac{x - 1}{x + 1} = \frac{13}{6}$ 中的每一项乘以 $6 (x - 1) (x + 1)$ 以消去分数。

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解题步骤 2.1

将 $\frac{x + 1}{x - 1} + \frac{x - 1}{x + 1} = \frac{13}{6}$ 中的每一项乘以 $6 (x - 1) (x + 1)$ 。

$\frac{x + 1}{x - 1} (6 (x - 1) (x + 1)) + \frac{x - 1}{x + 1} (6 (x - 1) (x + 1)) = \frac{13}{6} (6 (x - 1) (x + 1))$

解题步骤 2.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$6 \frac{x + 1}{x - 1} ((x - 1) (x + 1)) + \frac{x - 1}{x + 1} (6 (x - 1) (x + 1)) = \frac{13}{6} (6 (x - 1) (x + 1))$

解题步骤 2.2.1.2

组合 $6$ 和 $\frac{x + 1}{x - 1}$ 。

$\frac{6 (x + 1)}{x - 1} ((x - 1) (x + 1)) + \frac{x - 1}{x + 1} (6 (x - 1) (x + 1)) = \frac{13}{6} (6 (x - 1) (x + 1))$

解题步骤 2.2.1.3

约去 $x - 1$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1.3.1

约去公因数。

$\frac{6 (x + 1)}{x - 1} ((x - 1) (x + 1)) + \frac{x - 1}{x + 1} (6 (x - 1) (x + 1)) = \frac{13}{6} (6 (x - 1) (x + 1))$

解题步骤 2.2.1.3.2

重写表达式。

$6 (x + 1) (x + 1) + \frac{x - 1}{x + 1} (6 (x - 1) (x + 1)) = \frac{13}{6} (6 (x - 1) (x + 1))$

解题步骤 2.2.1.4

对 $x + 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$6 ({(x + 1)}^{1} (x + 1)) + \frac{x - 1}{x + 1} (6 (x - 1) (x + 1)) = \frac{13}{6} (6 (x - 1) (x + 1))$

解题步骤 2.2.1.5

对 $x + 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$6 ({(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{1}) + \frac{x - 1}{x + 1} (6 (x - 1) (x + 1)) = \frac{13}{6} (6 (x - 1) (x + 1))$

解题步骤 2.2.1.6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$6 {(x + 1)}^{1 + 1} + \frac{x - 1}{x + 1} (6 (x - 1) (x + 1)) = \frac{13}{6} (6 (x - 1) (x + 1))$

解题步骤 2.2.1.7

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$6 {(x + 1)}^{2} + \frac{x - 1}{x + 1} (6 (x - 1) (x + 1)) = \frac{13}{6} (6 (x - 1) (x + 1))$

解题步骤 2.2.1.8

使用乘法的交换性质重写。

$6 {(x + 1)}^{2} + 6 \frac{x - 1}{x + 1} ((x - 1) (x + 1)) = \frac{13}{6} (6 (x - 1) (x + 1))$

解题步骤 2.2.1.9

组合 $6$ 和 $\frac{x - 1}{x + 1}$ 。

$6 {(x + 1)}^{2} + \frac{6 (x - 1)}{x + 1} ((x - 1) (x + 1)) = \frac{13}{6} (6 (x - 1) (x + 1))$

解题步骤 2.2.1.10

约去 $x + 1$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1.10.1

从 $(x - 1) (x + 1)$ 中分解出因数 $x + 1$ 。

$6 {(x + 1)}^{2} + \frac{6 (x - 1)}{x + 1} ((x + 1) (x - 1)) = \frac{13}{6} (6 (x - 1) (x + 1))$

解题步骤 2.2.1.10.2

约去公因数。

$6 {(x + 1)}^{2} + \frac{6 (x - 1)}{x + 1} ((x + 1) (x - 1)) = \frac{13}{6} (6 (x - 1) (x + 1))$

解题步骤 2.2.1.10.3

重写表达式。

$6 {(x + 1)}^{2} + 6 (x - 1) (x - 1) = \frac{13}{6} (6 (x - 1) (x + 1))$

解题步骤 2.2.1.11

对 $x - 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$6 {(x + 1)}^{2} + 6 ({(x - 1)}^{1} (x - 1)) = \frac{13}{6} (6 (x - 1) (x + 1))$

解题步骤 2.2.1.12

对 $x - 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$6 {(x + 1)}^{2} + 6 ({(x - 1)}^{1} {(x - 1)}^{1}) = \frac{13}{6} (6 (x - 1) (x + 1))$

解题步骤 2.2.1.13

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$6 {(x + 1)}^{2} + 6 {(x - 1)}^{1 + 1} = \frac{13}{6} (6 (x - 1) (x + 1))$

解题步骤 2.2.1.14

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$6 {(x + 1)}^{2} + 6 {(x - 1)}^{2} = \frac{13}{6} (6 (x - 1) (x + 1))$

解题步骤 2.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.1

约去 $6$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.1.1

从 $6 (x - 1) (x + 1)$ 中分解出因数 $6$ 。

$6 {(x + 1)}^{2} + 6 {(x - 1)}^{2} = \frac{13}{6} (6 ((x - 1) (x + 1)))$

解题步骤 2.3.1.2

约去公因数。

$6 {(x + 1)}^{2} + 6 {(x - 1)}^{2} = \frac{13}{6} (6 ((x - 1) (x + 1)))$

解题步骤 2.3.1.3

重写表达式。

$6 {(x + 1)}^{2} + 6 {(x - 1)}^{2} = 13 ((x - 1) (x + 1))$

解题步骤 2.3.2

使用 FOIL 方法展开 $(x - 1) (x + 1)$ 。

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解题步骤 2.3.2.1

运用分配律。

$6 {(x + 1)}^{2} + 6 {(x - 1)}^{2} = 13 (x (x + 1) - 1 (x + 1))$

解题步骤 2.3.2.2

运用分配律。

$6 {(x + 1)}^{2} + 6 {(x - 1)}^{2} = 13 (x \cdot x + x \cdot 1 - 1 (x + 1))$

解题步骤 2.3.2.3

运用分配律。

$6 {(x + 1)}^{2} + 6 {(x - 1)}^{2} = 13 (x \cdot x + x \cdot 1 - 1 x - 1 \cdot 1)$

解题步骤 2.3.3

化简项。

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解题步骤 2.3.3.1

合并 $x \cdot x + x \cdot 1 - 1 x - 1 \cdot 1$ 中相反的项。

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解题步骤 2.3.3.1.1

按照 $x \cdot 1$ 和 $- 1 x$ 重新排列因数。

$6 {(x + 1)}^{2} + 6 {(x - 1)}^{2} = 13 (x \cdot x + 1 x - 1 x - 1 \cdot 1)$

解题步骤 2.3.3.1.2

从 $1 x$ 中减去 $1 x$ 。

$6 {(x + 1)}^{2} + 6 {(x - 1)}^{2} = 13 (x \cdot x + 0 - 1 \cdot 1)$

解题步骤 2.3.3.1.3

将 $x \cdot x$ 和 $0$ 相加。

$6 {(x + 1)}^{2} + 6 {(x - 1)}^{2} = 13 (x \cdot x - 1 \cdot 1)$

解题步骤 2.3.3.2

化简每一项。

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解题步骤 2.3.3.2.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$6 {(x + 1)}^{2} + 6 {(x - 1)}^{2} = 13 (x^{2} - 1 \cdot 1)$

解题步骤 2.3.3.2.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$6 {(x + 1)}^{2} + 6 {(x - 1)}^{2} = 13 (x^{2} - 1)$

解题步骤 2.3.3.3

通过相乘进行化简。

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解题步骤 2.3.3.3.1

运用分配律。

$6 {(x + 1)}^{2} + 6 {(x - 1)}^{2} = 13 x^{2} + 13 \cdot - 1$

解题步骤 2.3.3.3.2

将 $13$ 乘以 $- 1$ 。

$6 {(x + 1)}^{2} + 6 {(x - 1)}^{2} = 13 x^{2} - 13$

解题步骤 3

求解方程。

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解题步骤 3.1

将所有包含 $x$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 3.1.1

从等式两边同时减去 $13 x^{2}$ 。

$6 {(x + 1)}^{2} + 6 {(x - 1)}^{2} - 13 x^{2} = - 13$

解题步骤 3.1.2

化简每一项。

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解题步骤 3.1.2.1

将 ${(x + 1)}^{2}$ 重写为 $(x + 1) (x + 1)$ 。

$6 ((x + 1) (x + 1)) + 6 {(x - 1)}^{2} - 13 x^{2} = - 13$

解题步骤 3.1.2.2

使用 FOIL 方法展开 $(x + 1) (x + 1)$ 。

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解题步骤 3.1.2.2.1

运用分配律。

$6 (x (x + 1) + 1 (x + 1)) + 6 {(x - 1)}^{2} - 13 x^{2} = - 13$

解题步骤 3.1.2.2.2

运用分配律。

$6 (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)) + 6 {(x - 1)}^{2} - 13 x^{2} = - 13$

解题步骤 3.1.2.2.3

运用分配律。

$6 (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) + 6 {(x - 1)}^{2} - 13 x^{2} = - 13$

解题步骤 3.1.2.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.1.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.2.3.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$6 (x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) + 6 {(x - 1)}^{2} - 13 x^{2} = - 13$

解题步骤 3.1.2.3.1.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$6 (x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1) + 6 {(x - 1)}^{2} - 13 x^{2} = - 13$

解题步骤 3.1.2.3.1.3

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$6 (x^{2} + x + x + 1 \cdot 1) + 6 {(x - 1)}^{2} - 13 x^{2} = - 13$

解题步骤 3.1.2.3.1.4

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$6 (x^{2} + x + x + 1) + 6 {(x - 1)}^{2} - 13 x^{2} = - 13$

解题步骤 3.1.2.3.2

将 $x$ 和 $x$ 相加。

$6 (x^{2} + 2 x + 1) + 6 {(x - 1)}^{2} - 13 x^{2} = - 13$

解题步骤 3.1.2.4

运用分配律。

$6 x^{2} + 6 (2 x) + 6 \cdot 1 + 6 {(x - 1)}^{2} - 13 x^{2} = - 13$

解题步骤 3.1.2.5

化简。

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解题步骤 3.1.2.5.1

将 $2$ 乘以 $6$ 。

$6 x^{2} + 12 x + 6 \cdot 1 + 6 {(x - 1)}^{2} - 13 x^{2} = - 13$

解题步骤 3.1.2.5.2

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$6 x^{2} + 12 x + 6 + 6 {(x - 1)}^{2} - 13 x^{2} = - 13$

解题步骤 3.1.2.6

将 ${(x - 1)}^{2}$ 重写为 $(x - 1) (x - 1)$ 。

$6 x^{2} + 12 x + 6 + 6 ((x - 1) (x - 1)) - 13 x^{2} = - 13$

解题步骤 3.1.2.7

使用 FOIL 方法展开 $(x - 1) (x - 1)$ 。

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解题步骤 3.1.2.7.1

运用分配律。

$6 x^{2} + 12 x + 6 + 6 (x (x - 1) - 1 (x - 1)) - 13 x^{2} = - 13$

解题步骤 3.1.2.7.2

运用分配律。

$6 x^{2} + 12 x + 6 + 6 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) - 13 x^{2} = - 13$

解题步骤 3.1.2.7.3

运用分配律。

$6 x^{2} + 12 x + 6 + 6 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) - 13 x^{2} = - 13$

解题步骤 3.1.2.8

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.1.2.8.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.2.8.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$6 x^{2} + 12 x + 6 + 6 (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) - 13 x^{2} = - 13$

解题步骤 3.1.2.8.1.2

将 $- 1$ 移到 $x$ 的左侧。

$6 x^{2} + 12 x + 6 + 6 (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1) - 13 x^{2} = - 13$

解题步骤 3.1.2.8.1.3

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$6 x^{2} + 12 x + 6 + 6 (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1) - 13 x^{2} = - 13$

解题步骤 3.1.2.8.1.4

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$6 x^{2} + 12 x + 6 + 6 (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1) - 13 x^{2} = - 13$

解题步骤 3.1.2.8.1.5

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$6 x^{2} + 12 x + 6 + 6 (x^{2} - x - x + 1) - 13 x^{2} = - 13$

解题步骤 3.1.2.8.2

从 $- x$ 中减去 $x$ 。

$6 x^{2} + 12 x + 6 + 6 (x^{2} - 2 x + 1) - 13 x^{2} = - 13$

解题步骤 3.1.2.9

运用分配律。

$6 x^{2} + 12 x + 6 + 6 x^{2} + 6 (- 2 x) + 6 \cdot 1 - 13 x^{2} = - 13$

解题步骤 3.1.2.10

化简。

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解题步骤 3.1.2.10.1

将 $- 2$ 乘以 $6$ 。

$6 x^{2} + 12 x + 6 + 6 x^{2} - 12 x + 6 \cdot 1 - 13 x^{2} = - 13$

解题步骤 3.1.2.10.2

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$6 x^{2} + 12 x + 6 + 6 x^{2} - 12 x + 6 - 13 x^{2} = - 13$

解题步骤 3.1.3

合并 $6 x^{2} + 12 x + 6 + 6 x^{2} - 12 x + 6 - 13 x^{2}$ 中相反的项。

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解题步骤 3.1.3.1

从 $12 x$ 中减去 $12 x$ 。

$6 x^{2} + 6 + 6 x^{2} + 0 + 6 - 13 x^{2} = - 13$

解题步骤 3.1.3.2

将 $6 x^{2} + 6 + 6 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$6 x^{2} + 6 + 6 x^{2} + 6 - 13 x^{2} = - 13$

解题步骤 3.1.4

将 $6 x^{2}$ 和 $6 x^{2}$ 相加。

$12 x^{2} + 6 + 6 - 13 x^{2} = - 13$

解题步骤 3.1.5

从 $12 x^{2}$ 中减去 $13 x^{2}$ 。

$- x^{2} + 6 + 6 = - 13$

解题步骤 3.1.6

将 $6$ 和 $6$ 相加。

$- x^{2} + 12 = - 13$

解题步骤 3.2

将所有不包含 $x$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 3.2.1

从等式两边同时减去 $12$ 。

$- x^{2} = - 13 - 12$

解题步骤 3.2.2

从 $- 13$ 中减去 $12$ 。

$- x^{2} = - 25$

解题步骤 3.3

将 $- x^{2} = - 25$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 3.3.1

将 $- x^{2} = - 25$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 25}{- 1}$

解题步骤 3.3.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 25}{- 1}$

解题步骤 3.3.2.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} = \frac{- 25}{- 1}$

解题步骤 3.3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.3.1

用 $- 25$ 除以 $- 1$ 。

$x^{2} = 25$

解题步骤 3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{25}$

解题步骤 3.5

化简 $\pm \sqrt{25}$ 。

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解题步骤 3.5.1

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{5^{2}}$

解题步骤 3.5.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 5$

解题步骤 3.6

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 3.6.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = 5$

解题步骤 3.6.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - 5$

解题步骤 3.6.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = 5, - 5$

微积分学 示例

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