微积分学示例

$y = \frac{1}{2 \sqrt{2 x - x^{2}}}$

解题步骤 1

将方程重写为 $\frac{1}{2 \sqrt{2 x - x^{2}}} = y$ 。

$\frac{1}{2 \sqrt{2 x - x^{2}}} = y$

解题步骤 2

交叉相乘。

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解题步骤 2.1

通过将右边分子和左边分母的乘积设为等于左边分子和右边分母的乘积来进行交叉相乘。

$y \cdot (2 \sqrt{2 x - x^{2}}) = 1$

解题步骤 2.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.1

化简 $y \cdot (2 \sqrt{2 x - x^{2}})$ 。

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解题步骤 2.2.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$2 y \sqrt{2 x - x^{2}} = 1$

解题步骤 2.2.1.2

从 $2 x - x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 2.2.1.2.1

从 $2 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$2 y \sqrt{x \cdot 2 - x^{2}} = 1$

解题步骤 2.2.1.2.2

从 $- x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$2 y \sqrt{x \cdot 2 + x (- x)} = 1$

解题步骤 2.2.1.2.3

从 $x \cdot 2 + x (- x)$ 中分解出因数 $x$ 。

$2 y \sqrt{x (2 - x)} = 1$

解题步骤 3

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${(2 y \sqrt{x (2 - x)})}^{2} = 1^{2}$

解题步骤 4

化简方程的两边。

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解题步骤 4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x (2 - x)}$ 重写成 ${(x (2 - x))}^{\frac{1}{2}}$ 。

${(2 y {(x (2 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 1^{2}$

解题步骤 4.2

化简左边。

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解题步骤 4.2.1

化简 ${(2 y {(x (2 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 4.2.1.1

通过相乘进行化简。

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解题步骤 4.2.1.1.1

运用分配律。

${(2 y {(x \cdot 2 + x (- x))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 1^{2}$

解题步骤 4.2.1.1.2

重新排序。

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解题步骤 4.2.1.1.2.1

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

${(2 y {(2 \cdot x + x (- x))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 1^{2}$

解题步骤 4.2.1.1.2.2

使用乘法的交换性质重写。

${(2 y {(2 \cdot x - x \cdot x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 1^{2}$

解题步骤 4.2.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.2.1.2.1

移动 $x$ 。

${(2 y {(2 x - (x \cdot x))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 1^{2}$

解题步骤 4.2.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

${(2 y {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 1^{2}$

解题步骤 4.2.1.3

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 4.2.1.3.1

对 $2 y {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 运用乘积法则。

${(2 y)}^{2} {({(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 1^{2}$

解题步骤 4.2.1.3.2

对 $2 y$ 运用乘积法则。

$2^{2} y^{2} {({(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 1^{2}$

解题步骤 4.2.1.4

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$4 y^{2} {({(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 1^{2}$

解题步骤 4.2.1.5

将 ${({(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.2.1.5.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$4 y^{2} {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 1^{2}$

解题步骤 4.2.1.5.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1.5.2.1

约去公因数。

$4 y^{2} {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 1^{2}$

解题步骤 4.2.1.5.2.2

重写表达式。

$4 y^{2} {(2 x - x^{2})}^{1} = 1^{2}$

解题步骤 4.2.1.6

化简。

$4 y^{2} (2 x - x^{2}) = 1^{2}$

解题步骤 4.2.1.7

通过相乘进行化简。

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解题步骤 4.2.1.7.1

运用分配律。

$4 y^{2} (2 x) + 4 y^{2} (- x^{2}) = 1^{2}$

解题步骤 4.2.1.7.2

重新排序。

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解题步骤 4.2.1.7.2.1

使用乘法的交换性质重写。

$4 \cdot 2 y^{2} x + 4 y^{2} (- x^{2}) = 1^{2}$

解题步骤 4.2.1.7.2.2

使用乘法的交换性质重写。

$4 \cdot 2 y^{2} x + 4 \cdot - 1 y^{2} x^{2} = 1^{2}$

解题步骤 4.2.1.8

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.8.1

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$8 y^{2} x + 4 \cdot - 1 y^{2} x^{2} = 1^{2}$

解题步骤 4.2.1.8.2

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$8 y^{2} x - 4 y^{2} x^{2} = 1^{2}$

解题步骤 4.3

化简右边。

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解题步骤 4.3.1

一的任意次幂都为一。

$8 y^{2} x - 4 y^{2} x^{2} = 1$

解题步骤 5

求解 $x$ 。

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解题步骤 5.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$8 y^{2} x - 4 y^{2} x^{2} - 1 = 0$

解题步骤 5.2

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 5.3

将 $a = - 4 y^{2}$ 、 $b = 8 y^{2}$ 和 $c = - 1$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{{(8 y^{2})}^{2} - 4 \cdot (- 4 y^{2} \cdot - 1)}}{2 (- 4 y^{2})}$

解题步骤 5.4

化简。

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解题步骤 5.4.1

化简分子。

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解题步骤 5.4.1.1

将 $- 4 \cdot - 4 y^{2}$ 重写为 ${(4 y)}^{2}$ 。

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{{(8 y^{2})}^{2} - {(4 y)}^{2}}}{2 (- 4 y^{2})}$

解题步骤 5.4.1.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 8 y^{2}$ 和 $b = 4 y$ 。

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{(8 y^{2} + 4 y) (8 y^{2} - (4 y))}}{2 (- 4 y^{2})}$

解题步骤 5.4.1.3

化简。

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解题步骤 5.4.1.3.1

从 $8 y^{2} + 4 y$ 中分解出因数 $4 y$ 。

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解题步骤 5.4.1.3.1.1

从 $8 y^{2}$ 中分解出因数 $4 y$ 。

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{(4 y (2 y) + 4 y) (8 y^{2} - (4 y))}}{2 (- 4 y^{2})}$

解题步骤 5.4.1.3.1.2

从 $4 y$ 中分解出因数 $4 y$ 。

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{(4 y (2 y) + 4 y (1)) (8 y^{2} - (4 y))}}{2 (- 4 y^{2})}$

解题步骤 5.4.1.3.1.3

从 $4 y (2 y) + 4 y (1)$ 中分解出因数 $4 y$ 。

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{4 y (2 y + 1) (8 y^{2} - (4 y))}}{2 (- 4 y^{2})}$

解题步骤 5.4.1.3.2

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{4 y (2 y + 1) (8 y^{2} - 4 y)}}{2 (- 4 y^{2})}$

解题步骤 5.4.1.4

从 $8 y^{2} - 4 y$ 中分解出因数 $4 y$ 。

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解题步骤 5.4.1.4.1

从 $8 y^{2}$ 中分解出因数 $4 y$ 。

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{4 y (2 y + 1) (4 y (2 y) - 4 y)}}{2 (- 4 y^{2})}$

解题步骤 5.4.1.4.2

从 $- 4 y$ 中分解出因数 $4 y$ 。

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{4 y (2 y + 1) (4 y (2 y) + 4 y (- 1))}}{2 (- 4 y^{2})}$

解题步骤 5.4.1.4.3

从 $4 y (2 y) + 4 y (- 1)$ 中分解出因数 $4 y$ 。

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{4 y (2 y + 1) (4 y (2 y - 1))}}{2 (- 4 y^{2})}$

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{4 y (2 y + 1) \cdot (4 y (2 y - 1))}}{2 (- 4 y^{2})}$

解题步骤 5.4.1.5

合并指数。

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解题步骤 5.4.1.5.1

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{16 y (2 y + 1) y (2 y - 1)}}{2 (- 4 y^{2})}$

解题步骤 5.4.1.5.2

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{16 (y \cdot y) (2 y + 1) (2 y - 1)}}{2 (- 4 y^{2})}$

解题步骤 5.4.1.5.3

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{16 (y \cdot y) (2 y + 1) (2 y - 1)}}{2 (- 4 y^{2})}$

解题步骤 5.4.1.5.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{16 y^{1 + 1} (2 y + 1) (2 y - 1)}}{2 (- 4 y^{2})}$

解题步骤 5.4.1.5.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{16 y^{2} (2 y + 1) (2 y - 1)}}{2 (- 4 y^{2})}$

解题步骤 5.4.1.6

将 $16 y^{2} (2 y + 1) (2 y - 1)$ 重写为 ${(4 y)}^{2} ((2 y + 1) (2 y - 1))$ 。

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解题步骤 5.4.1.6.1

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{4^{2} y^{2} (2 y + 1) (2 y - 1)}}{2 (- 4 y^{2})}$

解题步骤 5.4.1.6.2

将 $4^{2} y^{2}$ 重写为 ${(4 y)}^{2}$ 。

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{{(4 y)}^{2} (2 y + 1) (2 y - 1)}}{2 (- 4 y^{2})}$

解题步骤 5.4.1.6.3

添加圆括号。

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{{(4 y)}^{2} ((2 y + 1) (2 y - 1))}}{2 (- 4 y^{2})}$

解题步骤 5.4.1.7

从根式下提出各项。

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm 4 y \sqrt{(2 y + 1) (2 y - 1)}}{2 (- 4 y^{2})}$

解题步骤 5.4.2

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm 4 y \sqrt{(2 y + 1) (2 y - 1)}}{- 8 y^{2}}$

解题步骤 5.4.3

化简 $\frac{- 8 y^{2} \pm 4 y \sqrt{(2 y + 1) (2 y - 1)}}{- 8 y^{2}}$ 。

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{(2 y + 1) (2 y - 1)}}{2 y}$

解题步骤 5.5

最终答案为两个解的组合。

$x = \frac{2 y + \sqrt{(2 y + 1) (2 y - 1)}}{2 y}$

$x = \frac{2 y - \sqrt{(2 y + 1) (2 y - 1)}}{2 y}$

$x = \frac{2 y + \sqrt{(2 y + 1) (2 y - 1)}}{2 y}$

$x = \frac{2 y - \sqrt{(2 y + 1) (2 y - 1)}}{2 y}$

微积分学 示例

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