微积分学示例

$Q = l^{\frac{1}{2}} k^{\frac{3}{2}} + k^{2}$

解题步骤 1

将方程重写为 $l^{\frac{1}{2}} k^{\frac{3}{2}} + k^{2} = Q$ 。

$l^{\frac{1}{2}} k^{\frac{3}{2}} + k^{2} = Q$

解题步骤 2

将所有不包含 $l$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 2.1

从等式两边同时减去 $k^{2}$ 。

$l^{\frac{1}{2}} k^{\frac{3}{2}} - Q = - k^{2}$

解题步骤 2.2

在等式两边都加上 $Q$ 。

$l^{\frac{1}{2}} k^{\frac{3}{2}} = - k^{2} + Q$

解题步骤 3

将 $l^{\frac{1}{2}} k^{\frac{3}{2}} = - k^{2} + Q$ 中的每一项除以 $k^{\frac{3}{2}}$ 并化简。

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解题步骤 3.1

将 $l^{\frac{1}{2}} k^{\frac{3}{2}} = - k^{2} + Q$ 中的每一项都除以 $k^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{l^{\frac{1}{2}} k^{\frac{3}{2}}}{k^{\frac{3}{2}}} = \frac{- k^{2}}{k^{\frac{3}{2}}} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 3.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.1

约去公因数。

$\frac{l^{\frac{1}{2}} k^{\frac{3}{2}}}{k^{\frac{3}{2}}} = \frac{- k^{2}}{k^{\frac{3}{2}}} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 3.2.2

用 $l^{\frac{1}{2}}$ 除以 $1$ 。

$l^{\frac{1}{2}} = \frac{- k^{2}}{k^{\frac{3}{2}}} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.3.1.1

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 将 $k^{\frac{3}{2}}$ 移动到分子。

$l^{\frac{1}{2}} = - k^{2} k^{- \frac{3}{2}} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 3.3.1.2

通过指数相加将 $k^{2}$ 乘以 $k^{- \frac{3}{2}}$ 。

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解题步骤 3.3.1.2.1

移动 $k^{- \frac{3}{2}}$ 。

$l^{\frac{1}{2}} = - (k^{- \frac{3}{2}} k^{2}) + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 3.3.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$l^{\frac{1}{2}} = - k^{- \frac{3}{2} + 2} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 3.3.1.2.3

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$l^{\frac{1}{2}} = - k^{- \frac{3}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 3.3.1.2.4

组合 $2$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$l^{\frac{1}{2}} = - k^{- \frac{3}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 3.3.1.2.5

在公分母上合并分子。

$l^{\frac{1}{2}} = - k^{\frac{- 3 + 2 \cdot 2}{2}} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 3.3.1.2.6

化简分子。

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解题步骤 3.3.1.2.6.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$l^{\frac{1}{2}} = - k^{\frac{- 3 + 4}{2}} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 3.3.1.2.6.2

将 $- 3$ 和 $4$ 相加。

$l^{\frac{1}{2}} = - k^{\frac{1}{2}} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4

将方程两边同时进行 $2$ 次方运算以消去左边的分数指数。

${(l^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- k^{\frac{1}{2}} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}})}^{2}$

解题步骤 5

化简指数。

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解题步骤 5.1

化简左边。

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解题步骤 5.1.1

化简 ${(l^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 5.1.1.1

将 ${(l^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.1.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$l^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- k^{\frac{1}{2}} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}})}^{2}$

解题步骤 5.1.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.1.1.1.2.1

约去公因数。

$l^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- k^{\frac{1}{2}} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}})}^{2}$

解题步骤 5.1.1.1.2.2

重写表达式。

$l^{1} = {(- k^{\frac{1}{2}} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}})}^{2}$

解题步骤 5.1.1.2

化简。

$l = {(- k^{\frac{1}{2}} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}})}^{2}$

解题步骤 5.2

化简右边。

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解题步骤 5.2.1

化简 ${(- k^{\frac{1}{2}} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}})}^{2}$ 。

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解题步骤 5.2.1.1

将 ${(- k^{\frac{1}{2}} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}})}^{2}$ 重写为 $(- k^{\frac{1}{2}} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}}) (- k^{\frac{1}{2}} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}})$ 。

$l = (- k^{\frac{1}{2}} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}}) (- k^{\frac{1}{2}} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}})$

解题步骤 5.2.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(- k^{\frac{1}{2}} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}}) (- k^{\frac{1}{2}} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}})$ 。

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解题步骤 5.2.1.2.1

运用分配律。

$l = - k^{\frac{1}{2}} (- k^{\frac{1}{2}} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}}) + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} (- k^{\frac{1}{2}} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}})$

解题步骤 5.2.1.2.2

运用分配律。

$l = - k^{\frac{1}{2}} (- k^{\frac{1}{2}}) - k^{\frac{1}{2}} \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} (- k^{\frac{1}{2}} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}})$

解题步骤 5.2.1.2.3

运用分配律。

$l = - k^{\frac{1}{2}} (- k^{\frac{1}{2}}) - k^{\frac{1}{2}} \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} (- k^{\frac{1}{2}}) + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 5.2.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 5.2.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.3.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$l = - 1 \cdot - 1 k^{\frac{1}{2}} k^{\frac{1}{2}} - k^{\frac{1}{2}} \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} (- k^{\frac{1}{2}}) + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 5.2.1.3.1.2

通过指数相加将 $k^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $k^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 5.2.1.3.1.2.1

移动 $k^{\frac{1}{2}}$ 。

$l = - 1 \cdot - 1 (k^{\frac{1}{2}} k^{\frac{1}{2}}) - k^{\frac{1}{2}} \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} (- k^{\frac{1}{2}}) + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 5.2.1.3.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$l = - 1 \cdot - 1 k^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - k^{\frac{1}{2}} \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} (- k^{\frac{1}{2}}) + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 5.2.1.3.1.2.3

在公分母上合并分子。

$l = - 1 \cdot - 1 k^{\frac{1 + 1}{2}} - k^{\frac{1}{2}} \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} (- k^{\frac{1}{2}}) + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 5.2.1.3.1.2.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$l = - 1 \cdot - 1 k^{\frac{2}{2}} - k^{\frac{1}{2}} \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} (- k^{\frac{1}{2}}) + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 5.2.1.3.1.2.5

用 $2$ 除以 $2$ 。

$l = - 1 \cdot - 1 k^{1} - k^{\frac{1}{2}} \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} (- k^{\frac{1}{2}}) + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 5.2.1.3.1.3

化简 $- 1 \cdot - 1 k^{1}$ 。

$l = - 1 \cdot - 1 k - k^{\frac{1}{2}} \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} (- k^{\frac{1}{2}}) + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 5.2.1.3.1.4

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$l = 1 k - k^{\frac{1}{2}} \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} (- k^{\frac{1}{2}}) + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 5.2.1.3.1.5

将 $k$ 乘以 $1$ 。

$l = k - k^{\frac{1}{2}} \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} (- k^{\frac{1}{2}}) + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 5.2.1.3.1.6

约去 $k^{\frac{1}{2}}$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1.3.1.6.1

从 $- k^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $k^{\frac{1}{2}}$ 。

$l = k + k^{\frac{1}{2}} \cdot - 1 \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} (- k^{\frac{1}{2}}) + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 5.2.1.3.1.6.2

从 $k^{\frac{3}{2}}$ 中分解出因数 $k^{\frac{1}{2}}$ 。

$l = k + k^{\frac{1}{2}} \cdot - 1 \frac{Q}{k^{\frac{1}{2}} k^{\frac{2}{2}}} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} (- k^{\frac{1}{2}}) + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 5.2.1.3.1.6.3

约去公因数。

$l = k + k^{\frac{1}{2}} \cdot - 1 \frac{Q}{k^{\frac{1}{2}} k^{\frac{2}{2}}} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} (- k^{\frac{1}{2}}) + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 5.2.1.3.1.6.4

重写表达式。

$l = k - 1 \frac{Q}{k^{\frac{2}{2}}} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} (- k^{\frac{1}{2}}) + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 5.2.1.3.1.7

化简分母。

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解题步骤 5.2.1.3.1.7.1

用 $2$ 除以 $2$ 。

$l = k - 1 \frac{Q}{k^{1}} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} (- k^{\frac{1}{2}}) + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 5.2.1.3.1.7.2

化简。

$l = k - 1 \frac{Q}{k} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} (- k^{\frac{1}{2}}) + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 5.2.1.3.1.8

将 $- 1 \frac{Q}{k}$ 重写为 $- \frac{Q}{k}$ 。

$l = k - \frac{Q}{k} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} (- k^{\frac{1}{2}}) + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 5.2.1.3.1.9

使用乘法的交换性质重写。

$l = k - \frac{Q}{k} - \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} k^{\frac{1}{2}} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 5.2.1.3.1.10

约去 $k^{\frac{1}{2}}$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1.3.1.10.1

将 $- \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}}$ 中前置负号移到分子中。

$l = k - \frac{Q}{k} + \frac{- Q}{k^{\frac{3}{2}}} k^{\frac{1}{2}} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 5.2.1.3.1.10.2

从 $k^{\frac{3}{2}}$ 中分解出因数 $k^{\frac{1}{2}}$ 。

$l = k - \frac{Q}{k} + \frac{- Q}{k^{\frac{1}{2}} k^{\frac{2}{2}}} k^{\frac{1}{2}} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 5.2.1.3.1.10.3

约去公因数。

$l = k - \frac{Q}{k} + \frac{- Q}{k^{\frac{1}{2}} k^{\frac{2}{2}}} k^{\frac{1}{2}} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 5.2.1.3.1.10.4

重写表达式。

$l = k - \frac{Q}{k} + \frac{- Q}{k^{\frac{2}{2}}} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 5.2.1.3.1.11

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1.3.1.11.1

约去公因数。

$l = k - \frac{Q}{k} + \frac{- Q}{k^{\frac{2}{2}}} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 5.2.1.3.1.11.2

重写表达式。

$l = k - \frac{Q}{k} + \frac{- Q}{k^{1}} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 5.2.1.3.1.12

化简。

$l = k - \frac{Q}{k} + \frac{- Q}{k} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 5.2.1.3.1.13

将负号移到分数的前面。

$l = k - \frac{Q}{k} - \frac{Q}{k} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 5.2.1.3.1.14

合并。

$l = k - \frac{Q}{k} - \frac{Q}{k} + \frac{Q \cdot Q}{k^{\frac{3}{2}} k^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 5.2.1.3.1.15

将 $Q$ 乘以 $Q$ 。

$l = k - \frac{Q}{k} - \frac{Q}{k} + \frac{Q^{2}}{k^{\frac{3}{2}} k^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 5.2.1.3.1.16

通过指数相加将 $k^{\frac{3}{2}}$ 乘以 $k^{\frac{3}{2}}$ 。

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解题步骤 5.2.1.3.1.16.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$l = k - \frac{Q}{k} - \frac{Q}{k} + \frac{Q^{2}}{k^{\frac{3}{2} + \frac{3}{2}}}$

解题步骤 5.2.1.3.1.16.2

在公分母上合并分子。

$l = k - \frac{Q}{k} - \frac{Q}{k} + \frac{Q^{2}}{k^{\frac{3 + 3}{2}}}$

解题步骤 5.2.1.3.1.16.3

将 $3$ 和 $3$ 相加。

$l = k - \frac{Q}{k} - \frac{Q}{k} + \frac{Q^{2}}{k^{\frac{6}{2}}}$

解题步骤 5.2.1.3.1.16.4

用 $6$ 除以 $2$ 。

$l = k - \frac{Q}{k} - \frac{Q}{k} + \frac{Q^{2}}{k^{3}}$

解题步骤 5.2.1.3.2

从 $- \frac{Q}{k}$ 中减去 $\frac{Q}{k}$ 。

$l = k - 2 \frac{Q}{k} + \frac{Q^{2}}{k^{3}}$

解题步骤 5.2.1.4

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.4.1

组合 $- 2$ 和 $\frac{Q}{k}$ 。

$l = k + \frac{- 2 Q}{k} + \frac{Q^{2}}{k^{3}}$

解题步骤 5.2.1.4.2

将负号移到分数的前面。

$l = k - \frac{2 Q}{k} + \frac{Q^{2}}{k^{3}}$

解题步骤 6

化简 $k - \frac{2 Q}{k} + \frac{Q^{2}}{k^{3}}$ 。

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解题步骤 6.1

移动 $- \frac{2 Q}{k}$ 。

$l = k + \frac{Q^{2}}{k^{3}} - \frac{2 Q}{k}$

解题步骤 6.2

将 $k$ 和 $\frac{Q^{2}}{k^{3}}$ 重新排序。

$l = \frac{Q^{2}}{k^{3}} + k - \frac{2 Q}{k}$

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