微积分学示例

$\sin (- \frac{5 π}{12}) + \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 1

化简每一项。

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解题步骤 1.1

加上 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$\sin (\frac{19 π}{12}) + \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 1.2

$\sin (\frac{19 π}{12})$ 的准确值为 $- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}$ 。

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解题步骤 1.2.1

将 $\frac{19 π}{12}$ 重写为六个三角函数的值除以 $2$ 的角。

$\sin (\frac{\frac{19 π}{6}}{2}) + \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 1.2.2

使用正弦半角公式。

$\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{19 π}{6})}{2}} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 1.2.3

由于正弦在第四象限中为负，所以将 $\pm$ 变为 $-$ 。

$- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{19 π}{6})}{2}} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 1.2.4

化简 $- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{19 π}{6})}{2}}$ 。

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解题步骤 1.2.4.1

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{2}} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 1.2.4.2

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第三象限为负。

$- \sqrt{\frac{1 - - \cos (\frac{π}{6})}{2}} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 1.2.4.3

$\cos (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$- \sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 1.2.4.4

乘以 $- - \frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

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解题步骤 1.2.4.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- \sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 1.2.4.4.2

将 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 乘以 $1$ 。

$- \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 1.2.4.5

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 1.2.4.6

在公分母上合并分子。

$- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{2}} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 1.2.4.7

将分子乘以分母的倒数。

$- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 1.2.4.8

乘以 $\frac{2 + \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 1.2.4.8.1

将 $\frac{2 + \sqrt{3}}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{2 \cdot 2}} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 1.2.4.8.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{4}} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 1.2.4.9

将 $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{4}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{4}}$ 。

$- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{4}} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 1.2.4.10

化简分母。

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解题步骤 1.2.4.10.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{2^{2}}} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 1.2.4.10.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 2

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 2.1

在公分母上合并分子。

$\frac{- \sqrt{2 + \sqrt{3}} + \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 2.2

从 $- \sqrt{2 + \sqrt{3}}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (\sqrt{2 + \sqrt{3}}) + \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 2.3

从 $\sqrt{3}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (\sqrt{2 + \sqrt{3}}) - 1 (- \sqrt{3})}{2}$

解题步骤 2.4

从 $- (\sqrt{2 + \sqrt{3}}) - 1 (- \sqrt{3})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (\sqrt{2 + \sqrt{3}} - \sqrt{3})}{2}$

解题步骤 2.5

化简表达式。

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解题步骤 2.5.1

将 $- (\sqrt{2 + \sqrt{3}} - \sqrt{3})$ 重写为 $- 1 (\sqrt{2 + \sqrt{3}} - \sqrt{3})$ 。

$\frac{- 1 (\sqrt{2 + \sqrt{3}} - \sqrt{3})}{2}$

解题步骤 2.5.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}} - \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 3

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}} - \sqrt{3}}{2}$

小数形式：

$- 0.09990042 \dots$

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