微积分学示例

${(x^{2} + a^{2})}^{n}$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{n}$ 且 $g (x) = x^{2} + a^{2}$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} + a^{2}$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{n}] \frac{d}{d x} [x^{2} + a^{2}]$

解题步骤 1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = n$ 。

$n u^{n - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + a^{2}]$

解题步骤 1.3

使用 $x^{2} + a^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$n {(x^{2} + a^{2})}^{n - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + a^{2}]$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $x^{2} + a^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [a^{2}]$ 。

$n {(x^{2} + a^{2})}^{n - 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [a^{2}])$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$n {(x^{2} + a^{2})}^{n - 1} (2 x + \frac{d}{d x} [a^{2}])$

解题步骤 2.3

因为 $a^{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $a^{2}$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$n {(x^{2} + a^{2})}^{n - 1} (2 x + 0)$

解题步骤 2.4

化简表达式。

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解题步骤 2.4.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$n {(x^{2} + a^{2})}^{n - 1} (2 x)$

解题步骤 2.4.2

重新排序 $n {(x^{2} + a^{2})}^{n - 1} (2 x)$ 的因式。

$2 n x {(x^{2} + a^{2})}^{n - 1}$

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