微积分学示例

$\frac{x^{0.5} - 2 x^{2} + 5 x^{1.5}}{2 x^{1.5}}$

解题步骤 1

因为 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{x^{0.5} - 2 x^{2} + 5 x^{1.5}}{2 x^{1.5}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x^{0.5} - 2 x^{2} + 5 x^{1.5}}{x^{1.5}}]$ 。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x^{0.5} - 2 x^{2} + 5 x^{1.5}}{x^{1.5}}]$

解题步骤 2

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 2.1

从 $x^{0.5} - 2 x^{2} + 5 x^{1.5}$ 中分解出因数 $x^{0.5}$ 。

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解题步骤 2.1.1

乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x^{0.5} \cdot 1 - 2 x^{2} + 5 x^{1.5}}{x^{1.5}}]$

解题步骤 2.1.2

从 $- 2 x^{2}$ 中分解出因数 $x^{0.5}$ 。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x^{0.5} \cdot 1 + x^{0.5} (- 2 x^{1.5}) + 5 x^{1.5}}{x^{1.5}}]$

解题步骤 2.1.3

从 $5 x^{1.5}$ 中分解出因数 $x^{0.5}$ 。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x^{0.5} \cdot 1 + x^{0.5} (- 2 x^{1.5}) + x^{0.5} (5 x)}{x^{1.5}}]$

解题步骤 2.1.4

从 $x^{0.5} \cdot 1 + x^{0.5} (- 2 x^{1.5})$ 中分解出因数 $x^{0.5}$ 。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x^{0.5} \cdot (1 - 2 x^{1.5}) + x^{0.5} (5 x)}{x^{1.5}}]$

解题步骤 2.1.5

从 $x^{0.5} \cdot (1 - 2 x^{1.5}) + x^{0.5} (5 x)$ 中分解出因数 $x^{0.5}$ 。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x^{0.5} (1 - 2 x^{1.5} + 5 x)}{x^{1.5}}]$

解题步骤 2.2

使用负指数规则 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 将 $x^{0.5}$ 移动到分母。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1 - 2 x^{1.5} + 5 x}{x^{1.5} x^{- 0.5}}]$

解题步骤 3

化简分母。

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解题步骤 3.1

通过指数相加将 $x^{1.5}$ 乘以 $x^{- 0.5}$ 。

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解题步骤 3.1.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1 - 2 x^{1.5} + 5 x}{x^{1.5 - 0.5}}]$

解题步骤 3.1.2

从 $1.5$ 中减去 $0.5$ 。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1 - 2 x^{1.5} + 5 x}{x^{1}}]$

解题步骤 3.2

化简 $x^{1}$ 。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1 - 2 x^{1.5} + 5 x}{x}]$

解题步骤 4

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 1 - 2 x^{1.5} + 5 x$ 且 $g (x) = x$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [1 - 2 x^{1.5} + 5 x] - (1 - 2 x^{1.5} + 5 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 5

求微分。

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解题步骤 5.1

根据加法法则， $1 - 2 x^{1.5} + 5 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [5 x]$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [5 x]) - (1 - 2 x^{1.5} + 5 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 5.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [5 x]) - (1 - 2 x^{1.5} + 5 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 5.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}]$ 相加。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (\frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [5 x]) - (1 - 2 x^{1.5} + 5 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 5.4

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x^{1.5}$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x^{1.5}]$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (- 2 \frac{d}{d x} [x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [5 x]) - (1 - 2 x^{1.5} + 5 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 5.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1.5$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (- 2 (1.5 x^{0.5}) + \frac{d}{d x} [5 x]) - (1 - 2 x^{1.5} + 5 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 5.6

将 $1.5$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (- 3 x^{0.5} + \frac{d}{d x} [5 x]) - (1 - 2 x^{1.5} + 5 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 5.7

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (- 3 x^{0.5} + 5 \frac{d}{d x} [x]) - (1 - 2 x^{1.5} + 5 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 5.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (- 3 x^{0.5} + 5 \cdot 1) - (1 - 2 x^{1.5} + 5 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 5.9

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (- 3 x^{0.5} + 5) - (1 - 2 x^{1.5} + 5 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 5.10

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (- 3 x^{0.5} + 5) - (1 - 2 x^{1.5} + 5 x) \cdot 1}{x^{2}}$

解题步骤 5.11

合并分数。

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解题步骤 5.11.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (- 3 x^{0.5} + 5) - (1 - 2 x^{1.5} + 5 x)}{x^{2}}$

解题步骤 5.11.2

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{x (- 3 x^{0.5} + 5) - (1 - 2 x^{1.5} + 5 x)}{x^{2}}$ 。

$\frac{x (- 3 x^{0.5} + 5) - (1 - 2 x^{1.5} + 5 x)}{2 x^{2}}$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

运用分配律。

$\frac{x (- 3 x^{0.5}) + x \cdot 5 - (1 - 2 x^{1.5} + 5 x)}{2 x^{2}}$

解题步骤 6.2

运用分配律。

$\frac{x (- 3 x^{0.5}) + x \cdot 5 - 1 \cdot 1 - (- 2 x^{1.5}) - (5 x)}{2 x^{2}}$

解题步骤 6.3

化简分子。

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解题步骤 6.3.1

化简每一项。

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解题步骤 6.3.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{- 3 x \cdot x^{0.5} + x \cdot 5 - 1 \cdot 1 - (- 2 x^{1.5}) - (5 x)}{2 x^{2}}$

解题步骤 6.3.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{0.5}$ 。

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解题步骤 6.3.1.2.1

移动 $x^{0.5}$ 。

$\frac{- 3 (x^{0.5} x) + x \cdot 5 - 1 \cdot 1 - (- 2 x^{1.5}) - (5 x)}{2 x^{2}}$

解题步骤 6.3.1.2.2

将 $x^{0.5}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 6.3.1.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- 3 (x^{0.5} x^{1}) + x \cdot 5 - 1 \cdot 1 - (- 2 x^{1.5}) - (5 x)}{2 x^{2}}$

解题步骤 6.3.1.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- 3 x^{0.5 + 1} + x \cdot 5 - 1 \cdot 1 - (- 2 x^{1.5}) - (5 x)}{2 x^{2}}$

解题步骤 6.3.1.2.3

将 $0.5$ 和 $1$ 相加。

$\frac{- 3 x^{1.5} + x \cdot 5 - 1 \cdot 1 - (- 2 x^{1.5}) - (5 x)}{2 x^{2}}$

解题步骤 6.3.1.3

将 $5$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{- 3 x^{1.5} + 5 \cdot x - 1 \cdot 1 - (- 2 x^{1.5}) - (5 x)}{2 x^{2}}$

解题步骤 6.3.1.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- 3 x^{1.5} + 5 x - 1 - (- 2 x^{1.5}) - (5 x)}{2 x^{2}}$

解题步骤 6.3.1.5

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- 3 x^{1.5} + 5 x - 1 + 2 x^{1.5} - (5 x)}{2 x^{2}}$

解题步骤 6.3.1.6

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- 3 x^{1.5} + 5 x - 1 + 2 x^{1.5} - 5 x}{2 x^{2}}$

解题步骤 6.3.2

合并 $- 3 x^{1.5} + 5 x - 1 + 2 x^{1.5} - 5 x$ 中相反的项。

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解题步骤 6.3.2.1

从 $5 x$ 中减去 $5 x$ 。

$\frac{- 3 x^{1.5} - 1 + 2 x^{1.5} + 0}{2 x^{2}}$

解题步骤 6.3.2.2

将 $- 3 x^{1.5} - 1 + 2 x^{1.5}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{- 3 x^{1.5} - 1 + 2 x^{1.5}}{2 x^{2}}$

解题步骤 6.3.3

将 $- 3 x^{1.5}$ 和 $2 x^{1.5}$ 相加。

$\frac{- 1 x^{1.5} - 1}{2 x^{2}}$

解题步骤 6.4

从 $- 1 x^{1.5}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (1 x^{1.5}) - 1}{2 x^{2}}$

解题步骤 6.5

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$\frac{- (1 x^{1.5}) - 1 (1)}{2 x^{2}}$

解题步骤 6.6

从 $- (1 x^{1.5}) - 1 (1)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (1 x^{1.5} + 1)}{2 x^{2}}$

解题步骤 6.7

将 $- (1 x^{1.5} + 1)$ 重写为 $- 1 (1 x^{1.5} + 1)$ 。

$\frac{- 1 (1 x^{1.5} + 1)}{2 x^{2}}$

解题步骤 6.8

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1 x^{1.5} + 1}{2 x^{2}}$

解题步骤 6.9

将 $x^{1.5}$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{x^{1.5} + 1}{2 x^{2}}$

微积分学 示例

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