微积分学示例

${(e^{8 x - 1})}^{5}$

解题步骤 1

将 ${(e^{8 x - 1})}^{5}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{d}{d x} [e^{(8 x - 1) \cdot 5}]$

解题步骤 1.2

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [e^{8 x \cdot 5 - 1 \cdot 5}]$

解题步骤 1.3

将 $5$ 乘以 $8$ 。

$\frac{d}{d x} [e^{40 x - 1 \cdot 5}]$

解题步骤 1.4

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$\frac{d}{d x} [e^{40 x - 5}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 40 x - 5$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $40 x - 5$ 。

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [40 x - 5]$

解题步骤 2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{u} \frac{d}{d x} [40 x - 5]$

解题步骤 2.3

使用 $40 x - 5$ 替换所有出现的 $u$ 。

$e^{40 x - 5} \frac{d}{d x} [40 x - 5]$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $40 x - 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [40 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ 。

$e^{40 x - 5} (\frac{d}{d x} [40 x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

解题步骤 3.2

因为 $40$ 对于 $x$ 是常数，所以 $40 x$ 对 $x$ 的导数是 $40 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$e^{40 x - 5} (40 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$e^{40 x - 5} (40 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5])$

解题步骤 3.4

将 $40$ 乘以 $1$ 。

$e^{40 x - 5} (40 + \frac{d}{d x} [- 5])$

解题步骤 3.5

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$e^{40 x - 5} (40 + 0)$

解题步骤 3.6

化简表达式。

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解题步骤 3.6.1

将 $40$ 和 $0$ 相加。

$e^{40 x - 5} \cdot 40$

解题步骤 3.6.2

将 $40$ 移到 $e^{40 x - 5}$ 的左侧。

$40 e^{40 x - 5}$

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