微积分学示例

${(a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ 且 $g (x) = a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}}$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}}$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d x} [a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}}]$

解题步骤 1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{3}{2}$ 。

$\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}}]$

解题步骤 1.3

使用 $a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{3}{2} {(a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}}]$

解题步骤 2

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{3}{2} {(a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}}]$

解题步骤 3

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{3}{2} {(a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}}]$

解题步骤 4

在公分母上合并分子。

$\frac{3}{2} {(a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}}]$

解题步骤 5

化简分子。

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解题步骤 5.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{3}{2} {(a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}}]$

解题步骤 5.2

从 $3$ 中减去 $2$ 。

$\frac{3}{2} {(a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}}]$

解题步骤 6

组合 $\frac{3}{2}$ 和 ${(a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{3 {(a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}}]$

解题步骤 7

根据加法法则， $a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [a^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$ 。

$\frac{3 {(a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}}}{2} (\frac{d}{d x} [a^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}])$

解题步骤 8

因为 $a^{\frac{2}{3}}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $a^{\frac{2}{3}}$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{3 {(a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}}}{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}])$

解题步骤 9

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$ 相加。

$\frac{3 {(a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$

解题步骤 10

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{\frac{2}{3}}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ 。

$\frac{3 {(a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}}}{2} (- \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}])$

解题步骤 11

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{2}{3}$ 。

$\frac{3 {(a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}}}{2} (- (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

解题步骤 12

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{3 {(a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}}}{2} (- (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}))$

解题步骤 13

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{3 {(a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}}}{2} (- (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}))$

解题步骤 14

在公分母上合并分子。

$\frac{3 {(a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}}}{2} (- (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}))$

解题步骤 15

化简分子。

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解题步骤 15.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{3 {(a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}}}{2} (- (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}))$

解题步骤 15.2

从 $2$ 中减去 $3$ 。

$\frac{3 {(a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}}}{2} (- (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}))$

解题步骤 16

将负号移到分数的前面。

$\frac{3 {(a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}}}{2} (- (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}))$

解题步骤 17

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $x^{- \frac{1}{3}}$ 。

$\frac{3 {(a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}}}{2} (- \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3})$

解题步骤 18

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{3}}$ 移动到分母。

$\frac{3 {(a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}}}{2} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}})$

解题步骤 19

将 $\frac{3 {(a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}}}{2}$ 乘以 $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ 。

$- \frac{3 {(a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 (3 x^{\frac{1}{3}})}$

解题步骤 20

乘。

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解题步骤 20.1

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$- \frac{6 {(a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}}}{2 (3 x^{\frac{1}{3}})}$

解题步骤 20.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{6 {(a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}}}{6 x^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 21

约去公因数。

$- \frac{6 {(a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}}}{6 x^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 22

重写表达式。

$- \frac{{(a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{3}}}$

微积分学 示例

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