微积分学示例

$\frac{e^{x} - 1 - x}{x^{2}}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = e^{x} - 1 - x$ 且 $g (x) = x^{2}$ 。

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x} - 1 - x] - (e^{x} - 1 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2

使用求加法法则求导。

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解题步骤 2.1

将 ${(x^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x} - 1 - x] - (e^{x} - 1 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

解题步骤 2.1.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x} - 1 - x] - (e^{x} - 1 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 2.2

根据加法法则， $e^{x} - 1 - x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- x]$ 。

$\frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- x]) - (e^{x} - 1 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 3

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{x^{2} (e^{x} + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- x]) - (e^{x} - 1 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{x^{2} (e^{x} + 0 + \frac{d}{d x} [- x]) - (e^{x} - 1 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 4.2

将 $e^{x}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{x^{2} (e^{x} + \frac{d}{d x} [- x]) - (e^{x} - 1 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 4.3

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{x^{2} (e^{x} - \frac{d}{d x} [x]) - (e^{x} - 1 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 4.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{x^{2} (e^{x} - 1 \cdot 1) - (e^{x} - 1 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 4.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x^{2} (e^{x} - 1) - (e^{x} - 1 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 4.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{x^{2} (e^{x} - 1) - (e^{x} - 1 - x) (2 x)}{x^{4}}$

解题步骤 4.7

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 4.7.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{x^{2} (e^{x} - 1) - 2 (e^{x} - 1 - x) x}{x^{4}}$

解题步骤 4.7.2

从 $x^{2} (e^{x} - 1) - 2 (e^{x} - 1 - x) x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 4.7.2.1

从 $x^{2} (e^{x} - 1)$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (x (e^{x} - 1)) - 2 (e^{x} - 1 - x) x}{x^{4}}$

解题步骤 4.7.2.2

从 $- 2 (e^{x} - 1 - x) x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (x (e^{x} - 1)) + x (- 2 (e^{x} - 1 - x))}{x^{4}}$

解题步骤 4.7.2.3

从 $x (x (e^{x} - 1)) + x (- 2 (e^{x} - 1 - x))$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (x (e^{x} - 1) - 2 (e^{x} - 1 - x))}{x^{4}}$

解题步骤 5

约去公因数。

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解题步骤 5.1

从 $x^{4}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (x (e^{x} - 1) - 2 (e^{x} - 1 - x))}{x \cdot x^{3}}$

解题步骤 5.2

约去公因数。

$\frac{x (x (e^{x} - 1) - 2 (e^{x} - 1 - x))}{x \cdot x^{3}}$

解题步骤 5.3

重写表达式。

$\frac{x (e^{x} - 1) - 2 (e^{x} - 1 - x)}{x^{3}}$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

运用分配律。

$\frac{x e^{x} + x \cdot - 1 - 2 (e^{x} - 1 - x)}{x^{3}}$

解题步骤 6.2

运用分配律。

$\frac{x e^{x} + x \cdot - 1 - 2 e^{x} - 2 \cdot - 1 - 2 (- x)}{x^{3}}$

解题步骤 6.3

化简分子。

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解题步骤 6.3.1

化简每一项。

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解题步骤 6.3.1.1

将 $- 1$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{x e^{x} - 1 \cdot x - 2 e^{x} - 2 \cdot - 1 - 2 (- x)}{x^{3}}$

解题步骤 6.3.1.2

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$\frac{x e^{x} - x - 2 e^{x} - 2 \cdot - 1 - 2 (- x)}{x^{3}}$

解题步骤 6.3.1.3

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{x e^{x} - x - 2 e^{x} + 2 - 2 (- x)}{x^{3}}$

解题步骤 6.3.1.4

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{x e^{x} - x - 2 e^{x} + 2 + 2 x}{x^{3}}$

解题步骤 6.3.2

将 $- x$ 和 $2 x$ 相加。

$\frac{x e^{x} + x - 2 e^{x} + 2}{x^{3}}$

解题步骤 6.4

重新排序项。

$\frac{e^{x} x + x + 2 - 2 e^{x}}{x^{3}}$

解题步骤 6.5

将 $\frac{e^{x} x + x + 2 - 2 e^{x}}{x^{3}}$ 中的因式重新排序。

$\frac{x e^{x} + x + 2 - 2 e^{x}}{x^{3}}$

微积分学 示例

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