微积分学示例

$\ln (\frac{3 x + 1}{3 x - 1})$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = \frac{3 x + 1}{3 x - 1}$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{3 x + 1}{3 x - 1}$ 。

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{3 x + 1}{3 x - 1}]$

解题步骤 1.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{3 x + 1}{3 x - 1}]$

解题步骤 1.3

使用 $\frac{3 x + 1}{3 x - 1}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{\frac{3 x + 1}{3 x - 1}} \frac{d}{d x} [\frac{3 x + 1}{3 x - 1}]$

解题步骤 2

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{3 x + 1}{3 x - 1}$ 。

$1 \frac{3 x - 1}{3 x + 1} \frac{d}{d x} [\frac{3 x + 1}{3 x - 1}]$

解题步骤 3

将 $\frac{3 x - 1}{3 x + 1}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3 x - 1}{3 x + 1} \frac{d}{d x} [\frac{3 x + 1}{3 x - 1}]$

解题步骤 4

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 3 x + 1$ 且 $g (x) = 3 x - 1$ 。

$\frac{3 x - 1}{3 x + 1} \cdot \frac{(3 x - 1) \frac{d}{d x} [3 x + 1] - (3 x + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 1]}{{(3 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 5

求微分。

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解题步骤 5.1

根据加法法则， $3 x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{3 x - 1}{3 x + 1} \cdot \frac{(3 x - 1) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (3 x + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 1]}{{(3 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 5.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{3 x - 1}{3 x + 1} \cdot \frac{(3 x - 1) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (3 x + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 1]}{{(3 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 5.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{3 x - 1}{3 x + 1} \cdot \frac{(3 x - 1) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) - (3 x + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 1]}{{(3 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 5.4

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3 x - 1}{3 x + 1} \cdot \frac{(3 x - 1) (3 + \frac{d}{d x} [1]) - (3 x + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 1]}{{(3 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 5.5

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{3 x - 1}{3 x + 1} \cdot \frac{(3 x - 1) (3 + 0) - (3 x + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 1]}{{(3 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 5.6

化简表达式。

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解题步骤 5.6.1

将 $3$ 和 $0$ 相加。

$\frac{3 x - 1}{3 x + 1} \cdot \frac{(3 x - 1) \cdot 3 - (3 x + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 1]}{{(3 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 5.6.2

将 $3$ 移到 $3 x - 1$ 的左侧。

$\frac{3 x - 1}{3 x + 1} \cdot \frac{3 \cdot (3 x - 1) - (3 x + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 1]}{{(3 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 5.7

根据加法法则， $3 x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$\frac{3 x - 1}{3 x + 1} \cdot \frac{3 (3 x - 1) - (3 x + 1) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(3 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 5.8

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{3 x - 1}{3 x + 1} \cdot \frac{3 (3 x - 1) - (3 x + 1) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(3 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 5.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{3 x - 1}{3 x + 1} \cdot \frac{3 (3 x - 1) - (3 x + 1) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(3 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 5.10

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3 x - 1}{3 x + 1} \cdot \frac{3 (3 x - 1) - (3 x + 1) (3 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(3 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 5.11

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{3 x - 1}{3 x + 1} \cdot \frac{3 (3 x - 1) - (3 x + 1) (3 + 0)}{{(3 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 5.12

合并分数。

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解题步骤 5.12.1

将 $3$ 和 $0$ 相加。

$\frac{3 x - 1}{3 x + 1} \cdot \frac{3 (3 x - 1) - (3 x + 1) \cdot 3}{{(3 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 5.12.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{3 x - 1}{3 x + 1} \cdot \frac{3 (3 x - 1) - 3 (3 x + 1)}{{(3 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 5.12.3

将 $\frac{3 x - 1}{3 x + 1}$ 乘以 $\frac{3 (3 x - 1) - 3 (3 x + 1)}{{(3 x - 1)}^{2}}$ 。

$\frac{(3 x - 1) (3 (3 x - 1) - 3 (3 x + 1))}{(3 x + 1) {(3 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 6

约去公因数。

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解题步骤 6.1

从 $(3 x + 1) {(3 x - 1)}^{2}$ 中分解出因数 $3 x - 1$ 。

$\frac{(3 x - 1) (3 (3 x - 1) - 3 (3 x + 1))}{(3 x - 1) ((3 x + 1) (3 x - 1))}$

解题步骤 6.2

约去公因数。

$\frac{(3 x - 1) (3 (3 x - 1) - 3 (3 x + 1))}{(3 x - 1) ((3 x + 1) (3 x - 1))}$

解题步骤 6.3

重写表达式。

$\frac{3 (3 x - 1) - 3 (3 x + 1)}{(3 x + 1) (3 x - 1)}$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

运用分配律。

$\frac{3 (3 x) + 3 \cdot - 1 - 3 (3 x + 1)}{(3 x + 1) (3 x - 1)}$

解题步骤 7.2

运用分配律。

$\frac{3 (3 x) + 3 \cdot - 1 - 3 (3 x) - 3 \cdot 1}{(3 x + 1) (3 x - 1)}$

解题步骤 7.3

化简分子。

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解题步骤 7.3.1

合并 $3 (3 x) + 3 \cdot - 1 - 3 (3 x) - 3 \cdot 1$ 中相反的项。

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解题步骤 7.3.1.1

从 $3 (3 x)$ 中减去 $3 (3 x)$ 。

$\frac{3 \cdot - 1 + 0 - 3 \cdot 1}{(3 x + 1) (3 x - 1)}$

解题步骤 7.3.1.2

将 $3 \cdot - 1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{3 \cdot - 1 - 3 \cdot 1}{(3 x + 1) (3 x - 1)}$

解题步骤 7.3.2

化简每一项。

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解题步骤 7.3.2.1

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- 3 - 3 \cdot 1}{(3 x + 1) (3 x - 1)}$

解题步骤 7.3.2.2

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- 3 - 3}{(3 x + 1) (3 x - 1)}$

解题步骤 7.3.3

从 $- 3$ 中减去 $3$ 。

$\frac{- 6}{(3 x + 1) (3 x - 1)}$

解题步骤 7.4

将负号移到分数的前面。

$- \frac{6}{(3 x + 1) (3 x - 1)}$

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